Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57078 / 8910
↖ ↑ ↗
← N 78.404746°
E133.538818°		 ← 122.77 m → N 78.404746°
E133.544311°		 →
↑
122.83 m
↓
↑
122.83 m
↓
N 78.403642°
E133.538818°		 ← 122.78 m →
15 080 m²		 N 78.403642°
E133.544311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870948791503906 y=0.135963439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870948791503906 × 216)
    floor (0.870948791503906 × 65536)
    floor (57078.5)     		tx = 57078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135963439941406 × 216)
    floor (0.135963439941406 × 65536)
    floor (8910.5)     		ty = 8910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57078 / 8910 ti = "16/57078/8910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57078/8910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57078 ÷ 216
    57078 ÷ 65536     		x = 0.870941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8910 ÷ 216
    8910 ÷ 65536     		y = 0.135955810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870941162109375 × 2 - 1) × π
    0.74188232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33069206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135955810546875 × 2 - 1) × π
    0.72808837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2873571022706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33069206} λ = 2.33069206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2873571022706))-π/2
    2×atan(9.84887368820277)-π/2
    2×1.46960864611728-π/2
    2.93921729223456-1.57079632675     		φ = 1.36842097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33069206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.538818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36842097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.404746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57078 KachelY 8910 2.33069206 1.36842097 133.538818 78.404746
    Oben rechts KachelX + 1 57079 KachelY 8910 2.33078793 1.36842097 133.544311 78.404746
    Unten links KachelX 57078 KachelY + 1 8911 2.33069206 1.36840169 133.538818 78.403642
    Unten rechts KachelX + 1 57079 KachelY + 1 8911 2.33078793 1.36840169 133.544311 78.403642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36842097-1.36840169) × R
    1.92800000000659e-05 × 6371000     		dl = 122.83288000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36842097-1.36840169) × R
    1.92800000000659e-05 × 6371000     		dr = 122.83288000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33069206-2.33078793) × cos(1.36842097) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200996775933264 × 6371000     		do = 122.766372549466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33069206-2.33078793) × cos(1.36840169) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201015662427793 × 6371000     		du = 122.777908189342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36842097)-sin(1.36840169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200996775933264-0.201015662427793)×R²
    abs(2.33078793-2.33069206)×1.88864945280809e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.88864945280809e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.88864945280809e-05×40589641000000     		ar = 15080.4555860508m²