Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57077 / 29101
↖ ↑ ↗
← N 70.217663°
W 23.233337°		 ← 103.35 m → N 70.217663°
W 23.230591°		 →
↑
103.34 m
↓
↑
103.34 m
↓
N 70.216734°
W 23.233337°		 ← 103.35 m →
10 680 m²		 N 70.216734°
W 23.230591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435466766357422 y=0.222026824951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435466766357422 × 217)
    floor (0.435466766357422 × 131072)
    floor (57077.5)     		tx = 57077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222026824951172 × 217)
    floor (0.222026824951172 × 131072)
    floor (29101.5)     		ty = 29101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57077 / 29101 ti = "17/57077/29101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57077/29101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57077 ÷ 217
    57077 ÷ 131072     		x = 0.435462951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29101 ÷ 217
    29101 ÷ 131072     		y = 0.222023010253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435462951660156 × 2 - 1) × π
    -0.129074096679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.40549823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222023010253906 × 2 - 1) × π
    0.555953979492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.74658093765675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40549823} λ = -0.40549823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74658093765675))-π/2
    2×atan(5.73496092801059)-π/2
    2×1.39816287453377-π/2
    2.79632574906755-1.57079632675     		φ = 1.22552942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40549823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.233337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22552942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.217663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57077 KachelY 29101 -0.40549823 1.22552942 -23.233337 70.217663
    Oben rechts KachelX + 1 57078 KachelY 29101 -0.40545030 1.22552942 -23.230591 70.217663
    Unten links KachelX 57077 KachelY + 1 29102 -0.40549823 1.22551320 -23.233337 70.216734
    Unten rechts KachelX + 1 57078 KachelY + 1 29102 -0.40545030 1.22551320 -23.230591 70.216734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22552942-1.22551320) × R
    1.62200000000112e-05 × 6371000     		dl = 103.337620000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22552942-1.22551320) × R
    1.62200000000112e-05 × 6371000     		dr = 103.337620000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40549823--0.40545030) × cos(1.22552942) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.338447844631183 × 6371000     		do = 103.349120885766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40549823--0.40545030) × cos(1.22551320) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.338463107365829 × 6371000     		du = 103.353781545401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22552942)-sin(1.22551320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338447844631183-0.338463107365829)×R²
    abs(-0.40545030--0.40549823)×1.52627346454715e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52627346454715e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52627346454715e-05×40589641000000     		ar = 10680.0929923185m²