Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57076 / 38652
↖ ↑ ↗
← N 59.181557°
W 23.236084°		 ← 156.48 m → N 59.181557°
W 23.233337°		 →
↑
156.47 m
↓
↑
156.47 m
↓
N 59.180150°
W 23.236084°		 ← 156.48 m →
24 485 m²		 N 59.180150°
W 23.233337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435459136962891 y=0.294895172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435459136962891 × 217)
    floor (0.435459136962891 × 131072)
    floor (57076.5)     		tx = 57076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294895172119141 × 217)
    floor (0.294895172119141 × 131072)
    floor (38652.5)     		ty = 38652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57076 / 38652 ti = "17/57076/38652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57076/38652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57076 ÷ 217
    57076 ÷ 131072     		x = 0.435455322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38652 ÷ 217
    38652 ÷ 131072     		y = 0.294891357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435455322265625 × 2 - 1) × π
    -0.12908935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40554617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294891357421875 × 2 - 1) × π
    0.41021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28873560938559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40554617} λ = -0.40554617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28873560938559))-π/2
    2×atan(3.62819619714228)-π/2
    2×1.30185467836945-π/2
    2.6037093567389-1.57079632675     		φ = 1.03291303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40554617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.236084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03291303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.181557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57076 KachelY 38652 -0.40554617 1.03291303 -23.236084 59.181557
    Oben rechts KachelX + 1 57077 KachelY 38652 -0.40549823 1.03291303 -23.233337 59.181557
    Unten links KachelX 57076 KachelY + 1 38653 -0.40554617 1.03288847 -23.236084 59.180150
    Unten rechts KachelX + 1 57077 KachelY + 1 38653 -0.40549823 1.03288847 -23.233337 59.180150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03291303-1.03288847) × R
    2.45599999999513e-05 × 6371000     		dl = 156.47175999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03291303-1.03288847) × R
    2.45599999999513e-05 × 6371000     		dr = 156.47175999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40554617--0.40549823) × cos(1.03291303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.512319326518578 × 6371000     		do = 156.475509418136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40554617--0.40549823) × cos(1.03288847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.512340418370057 × 6371000     		du = 156.481951412482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03291303)-sin(1.03288847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512319326518578-0.512340418370057)×R²
    abs(-0.40549823--0.40554617)×2.10918514796932e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10918514796932e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10918514796932e-05×40589641000000     		ar = 24484.502352024m²