Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57075 / 38169
↖ ↑ ↗
← N 59.854472°
W 23.238831°		 ← 153.38 m → N 59.854472°
W 23.236084°		 →
↑
153.35 m
↓
↑
153.35 m
↓
N 59.853092°
W 23.238831°		 ← 153.39 m →
23 522 m²		 N 59.853092°
W 23.236084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435451507568359 y=0.291210174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435451507568359 × 217)
    floor (0.435451507568359 × 131072)
    floor (57075.5)     		tx = 57075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291210174560547 × 217)
    floor (0.291210174560547 × 131072)
    floor (38169.5)     		ty = 38169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57075 / 38169 ti = "17/57075/38169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57075/38169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57075 ÷ 217
    57075 ÷ 131072     		x = 0.435447692871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38169 ÷ 217
    38169 ÷ 131072     		y = 0.291206359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435447692871094 × 2 - 1) × π
    -0.129104614257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.40559411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291206359863281 × 2 - 1) × π
    0.417587280273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.31188913190208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40559411} λ = -0.40559411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31188913190208))-π/2
    2×atan(3.71318178070324)-π/2
    2×1.30772696374836-π/2
    2.61545392749673-1.57079632675     		φ = 1.04465760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40559411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.238831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04465760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.854472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57075 KachelY 38169 -0.40559411 1.04465760 -23.238831 59.854472
    Oben rechts KachelX + 1 57076 KachelY 38169 -0.40554617 1.04465760 -23.236084 59.854472
    Unten links KachelX 57075 KachelY + 1 38170 -0.40559411 1.04463353 -23.238831 59.853092
    Unten rechts KachelX + 1 57076 KachelY + 1 38170 -0.40554617 1.04463353 -23.236084 59.853092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04465760-1.04463353) × R
    2.40700000000427e-05 × 6371000     		dl = 153.349970000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04465760-1.04463353) × R
    2.40700000000427e-05 × 6371000     		dr = 153.349970000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40559411--0.40554617) × cos(1.04465760) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.502198047058341 × 6371000     		do = 153.384210149426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40559411--0.40554617) × cos(1.04463353) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.502218861508811 × 6371000     		du = 153.390567418363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04465760)-sin(1.04463353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502198047058341-0.502218861508811)×R²
    abs(-0.40554617--0.40559411)×2.08144504694197e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08144504694197e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08144504694197e-05×40589641000000     		ar = 23521.9514695543m²