Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57074 / 38166
↖ ↑ ↗
← N 59.858609°
W 23.241577°		 ← 153.33 m → N 59.858609°
W 23.238831°		 →
↑
153.35 m
↓
↑
153.35 m
↓
N 59.857230°
W 23.241577°		 ← 153.34 m →
23 514 m²		 N 59.857230°
W 23.238831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435443878173828 y=0.291187286376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435443878173828 × 217)
    floor (0.435443878173828 × 131072)
    floor (57074.5)     		tx = 57074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291187286376953 × 217)
    floor (0.291187286376953 × 131072)
    floor (38166.5)     		ty = 38166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57074 / 38166 ti = "17/57074/38166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57074/38166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57074 ÷ 217
    57074 ÷ 131072     		x = 0.435440063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38166 ÷ 217
    38166 ÷ 131072     		y = 0.291183471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435440063476562 × 2 - 1) × π
    -0.129119873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40564204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291183471679688 × 2 - 1) × π
    0.417633056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.31203294260094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40564204} λ = -0.40564204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31203294260094))-π/2
    2×atan(3.71371581436908)-π/2
    2×1.30776307222906-π/2
    2.61552614445812-1.57079632675     		φ = 1.04472982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40564204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.241577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04472982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.858609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57074 KachelY 38166 -0.40564204 1.04472982 -23.241577 59.858609
    Oben rechts KachelX + 1 57075 KachelY 38166 -0.40559411 1.04472982 -23.238831 59.858609
    Unten links KachelX 57074 KachelY + 1 38167 -0.40564204 1.04470575 -23.241577 59.857230
    Unten rechts KachelX + 1 57075 KachelY + 1 38167 -0.40559411 1.04470575 -23.238831 59.857230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04472982-1.04470575) × R
    2.40699999998206e-05 × 6371000     		dl = 153.349969998857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04472982-1.04470575) × R
    2.40699999998206e-05 × 6371000     		dr = 153.349969998857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40564204--0.40559411) × cos(1.04472982) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.502135593313357 × 6371000     		do = 153.333144109337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40564204--0.40559411) × cos(1.04470575) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.502156408636779 × 6371000     		du = 153.339500318752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04472982)-sin(1.04470575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502135593313357-0.502156408636779)×R²
    abs(-0.40559411--0.40564204)×2.08153234216857e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.08153234216857e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.08153234216857e-05×40589641000000     		ar = 23514.1204122778m²