Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57072 / 30480
↖ ↑ ↗
← N 68.895187°
W 23.247070°		 ← 109.98 m → N 68.895187°
W 23.244324°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
N 68.894198°
W 23.247070°		 ← 109.98 m →
12 094 m²		 N 68.894198°
W 23.244324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435428619384766 y=0.232547760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435428619384766 × 217)
    floor (0.435428619384766 × 131072)
    floor (57072.5)     		tx = 57072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232547760009766 × 217)
    floor (0.232547760009766 × 131072)
    floor (30480.5)     		ty = 30480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57072 / 30480 ti = "17/57072/30480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57072/30480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57072 ÷ 217
    57072 ÷ 131072     		x = 0.4354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30480 ÷ 217
    30480 ÷ 131072     		y = 0.2325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2325439453125 × 2 - 1) × π
    0.534912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68047595308069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40573792} λ = -0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68047595308069))-π/2
    2×atan(5.36811033184574)-π/2
    2×1.38662208838754-π/2
    2.77324417677508-1.57079632675     		φ = 1.20244785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20244785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.895187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57072 KachelY 30480 -0.40573792 1.20244785 -23.247070 68.895187
    Oben rechts KachelX + 1 57073 KachelY 30480 -0.40568998 1.20244785 -23.244324 68.895187
    Unten links KachelX 57072 KachelY + 1 30481 -0.40573792 1.20243059 -23.247070 68.894198
    Unten rechts KachelX + 1 57073 KachelY + 1 30481 -0.40568998 1.20243059 -23.244324 68.894198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20244785-1.20243059) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dl = 109.963459999413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20244785-1.20243059) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dr = 109.963459999413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40573792--0.40568998) × cos(1.20244785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36007517926074 × 6371000     		do = 109.976228081272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40573792--0.40568998) × cos(1.20243059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360091281463092 × 6371000     		du = 109.981146108341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20244785)-sin(1.20243059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36007517926074-0.360091281463092)×R²
    abs(-0.40568998--0.40573792)×1.61022023523194e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61022023523194e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61022023523194e-05×40589641000000     		ar = 12093.636959459m²