Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57070 / 30445
↖ ↑ ↗
← N 68.929774°
W 23.252563°		 ← 109.78 m → N 68.929774°
W 23.249817°		 →
↑
109.84 m
↓
↑
109.84 m
↓
N 68.928786°
W 23.252563°		 ← 109.79 m →
12 058 m²		 N 68.928786°
W 23.249817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435413360595703 y=0.232280731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435413360595703 × 217)
    floor (0.435413360595703 × 131072)
    floor (57070.5)     		tx = 57070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232280731201172 × 217)
    floor (0.232280731201172 × 131072)
    floor (30445.5)     		ty = 30445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57070 / 30445 ti = "17/57070/30445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57070/30445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57070 ÷ 217
    57070 ÷ 131072     		x = 0.435409545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30445 ÷ 217
    30445 ÷ 131072     		y = 0.232276916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435409545898438 × 2 - 1) × π
    -0.129180908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40583379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232276916503906 × 2 - 1) × π
    0.535446166992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.68215374456739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40583379} λ = -0.40583379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68215374456739))-π/2
    2×atan(5.3771244614606)-π/2
    2×1.38692391762353-π/2
    2.77384783524706-1.57079632675     		φ = 1.20305151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40583379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.252563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20305151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.929774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57070 KachelY 30445 -0.40583379 1.20305151 -23.252563 68.929774
    Oben rechts KachelX + 1 57071 KachelY 30445 -0.40578586 1.20305151 -23.249817 68.929774
    Unten links KachelX 57070 KachelY + 1 30446 -0.40583379 1.20303427 -23.252563 68.928786
    Unten rechts KachelX + 1 57071 KachelY + 1 30446 -0.40578586 1.20303427 -23.249817 68.928786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20305151-1.20303427) × R
    1.72400000000295e-05 × 6371000     		dl = 109.836040000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20305151-1.20303427) × R
    1.72400000000295e-05 × 6371000     		dr = 109.836040000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40583379--0.40578586) × cos(1.20305151) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359511945214952 × 6371000     		do = 109.781297400154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40583379--0.40578586) × cos(1.20303427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359528032503454 × 6371000     		du = 109.786209847228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20305151)-sin(1.20303427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359511945214952-0.359528032503454)×R²
    abs(-0.40578586--0.40583379)×1.60872885017205e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60872885017205e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60872885017205e-05×40589641000000     		ar = 12058.2127547155m²