Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57069 / 8925
↖ ↑ ↗
← N 78.388173°
E133.489380°		 ← 122.94 m → N 78.388173°
E133.494873°		 →
↑
122.96 m
↓
↑
122.96 m
↓
N 78.387067°
E133.489380°		 ← 122.95 m →
15 117 m²		 N 78.387067°
E133.494873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870811462402344 y=0.136192321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870811462402344 × 216)
    floor (0.870811462402344 × 65536)
    floor (57069.5)     		tx = 57069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136192321777344 × 216)
    floor (0.136192321777344 × 65536)
    floor (8925.5)     		ty = 8925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57069 / 8925 ti = "16/57069/8925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57069/8925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57069 ÷ 216
    57069 ÷ 65536     		x = 0.870803833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8925 ÷ 216
    8925 ÷ 65536     		y = 0.136184692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870803833007812 × 2 - 1) × π
    0.741607666015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32982920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136184692382812 × 2 - 1) × π
    0.727630615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.285918995282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32982920} λ = 2.32982920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.285918995282))-π/2
    2×atan(9.83472013372403)-π/2
    2×1.4694640168321-π/2
    2.93892803366419-1.57079632675     		φ = 1.36813171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32982920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.489380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36813171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.388173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57069 KachelY 8925 2.32982920 1.36813171 133.489380 78.388173
    Oben rechts KachelX + 1 57070 KachelY 8925 2.32992507 1.36813171 133.494873 78.388173
    Unten links KachelX 57069 KachelY + 1 8926 2.32982920 1.36811241 133.489380 78.387067
    Unten rechts KachelX + 1 57070 KachelY + 1 8926 2.32992507 1.36811241 133.494873 78.387067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36813171-1.36811241) × R
    1.92999999999444e-05 × 6371000     		dl = 122.960299999646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36813171-1.36811241) × R
    1.92999999999444e-05 × 6371000     		dr = 122.960299999646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32982920-2.32992507) × cos(1.36813171) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201280124274286 × 6371000     		do = 122.939438250812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32982920-2.32992507) × cos(1.36811241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201299029237623 × 6371000     		du = 122.95098517121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36813171)-sin(1.36811241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201280124274286-0.201299029237623)×R²
    abs(2.32992507-2.32982920)×1.89049633364802e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.89049633364802e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.89049633364802e-05×40589641000000     		ar = 15117.3801160475m²