Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57067 / 8955
↖ ↑ ↗
← N 78.354956°
E133.478394°		 ← 123.29 m → N 78.354956°
E133.483887°		 →
↑
123.34 m
↓
↑
123.34 m
↓
N 78.353847°
E133.478394°		 ← 123.30 m →
15 207 m²		 N 78.353847°
E133.483887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870780944824219 y=0.136650085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870780944824219 × 216)
    floor (0.870780944824219 × 65536)
    floor (57067.5)     		tx = 57067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136650085449219 × 216)
    floor (0.136650085449219 × 65536)
    floor (8955.5)     		ty = 8955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57067 / 8955 ti = "16/57067/8955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57067/8955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57067 ÷ 216
    57067 ÷ 65536     		x = 0.870773315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8955 ÷ 216
    8955 ÷ 65536     		y = 0.136642456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870773315429688 × 2 - 1) × π
    0.741546630859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32963745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136642456054688 × 2 - 1) × π
    0.726715087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28304278130479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32963745} λ = 2.32963745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28304278130479))-π/2
    2×atan(9.80647401462722)-π/2
    2×1.46917414634914-π/2
    2.93834829269828-1.57079632675     		φ = 1.36755197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32963745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.478394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36755197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.354956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57067 KachelY 8955 2.32963745 1.36755197 133.478394 78.354956
    Oben rechts KachelX + 1 57068 KachelY 8955 2.32973332 1.36755197 133.483887 78.354956
    Unten links KachelX 57067 KachelY + 1 8956 2.32963745 1.36753261 133.478394 78.353847
    Unten rechts KachelX + 1 57068 KachelY + 1 8956 2.32973332 1.36753261 133.483887 78.353847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36755197-1.36753261) × R
    1.93600000000238e-05 × 6371000     		dl = 123.342560000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36755197-1.36753261) × R
    1.93600000000238e-05 × 6371000     		dr = 123.342560000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32963745-2.32973332) × cos(1.36755197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201847965297214 × 6371000     		do = 123.28626860292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32963745-2.32973332) × cos(1.36753261) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201866926769926 × 6371000     		du = 123.297850038554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36755197)-sin(1.36753261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201847965297214-0.201866926769926)×R²
    abs(2.32973332-2.32963745)×1.8961472712159e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.8961472712159e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.8961472712159e-05×40589641000000     		ar = 15207.1582249118m²