Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57066 / 8923
↖ ↑ ↗
← N 78.390384°
E133.472900°		 ← 122.93 m → N 78.390384°
E133.478394°		 →
↑
122.96 m
↓
↑
122.96 m
↓
N 78.389278°
E133.472900°		 ← 122.94 m →
15 116 m²		 N 78.389278°
E133.478394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870765686035156 y=0.136161804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870765686035156 × 216)
    floor (0.870765686035156 × 65536)
    floor (57066.5)     		tx = 57066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136161804199219 × 216)
    floor (0.136161804199219 × 65536)
    floor (8923.5)     		ty = 8923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57066 / 8923 ti = "16/57066/8923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57066/8923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57066 ÷ 216
    57066 ÷ 65536     		x = 0.870758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8923 ÷ 216
    8923 ÷ 65536     		y = 0.136154174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870758056640625 × 2 - 1) × π
    0.74151611328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32954157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136154174804688 × 2 - 1) × π
    0.727691650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28611074288048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32954157} λ = 2.32954157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28611074288048))-π/2
    2×atan(9.83660609850022)-π/2
    2×1.46948331251047-π/2
    2.93896662502093-1.57079632675     		φ = 1.36817030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32954157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.472900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36817030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.390384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57066 KachelY 8923 2.32954157 1.36817030 133.472900 78.390384
    Oben rechts KachelX + 1 57067 KachelY 8923 2.32963745 1.36817030 133.478394 78.390384
    Unten links KachelX 57066 KachelY + 1 8924 2.32954157 1.36815100 133.472900 78.389278
    Unten rechts KachelX + 1 57067 KachelY + 1 8924 2.32963745 1.36815100 133.478394 78.389278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36817030-1.36815100) × R
    1.93000000001664e-05 × 6371000     		dl = 122.96030000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36817030-1.36815100) × R
    1.93000000001664e-05 × 6371000     		dr = 122.96030000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32954157-2.32963745) × cos(1.36817030) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.201242323918111 × 6371000     		do = 122.929171403937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32954157-2.32963745) × cos(1.36815100) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.201261229031351 × 6371000     		du = 122.940719620339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36817030)-sin(1.36815100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201242323918111-0.201261229031351)×R²
    abs(2.32963745-2.32954157)×1.89051132404583e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.89051132404583e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.89051132404583e-05×40589641000000     		ar = 15116.1177816002m²