Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57065 / 8919
↖ ↑ ↗
← N 78.394805°
E133.467407°		 ← 122.87 m → N 78.394805°
E133.472900°		 →
↑
122.90 m
↓
↑
122.90 m
↓
N 78.393700°
E133.467407°		 ← 122.88 m →
15 101 m²		 N 78.393700°
E133.472900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870750427246094 y=0.136100769042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870750427246094 × 216)
    floor (0.870750427246094 × 65536)
    floor (57065.5)     		tx = 57065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136100769042969 × 216)
    floor (0.136100769042969 × 65536)
    floor (8919.5)     		ty = 8919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57065 / 8919 ti = "16/57065/8919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57065/8919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57065 ÷ 216
    57065 ÷ 65536     		x = 0.870742797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8919 ÷ 216
    8919 ÷ 65536     		y = 0.136093139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870742797851562 × 2 - 1) × π
    0.741485595703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32944570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136093139648438 × 2 - 1) × π
    0.727813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28649423807744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32944570} λ = 2.32944570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28649423807744))-π/2
    2×atan(9.84037911311364)-π/2
    2×1.46952189299626-π/2
    2.93904378599252-1.57079632675     		φ = 1.36824746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32944570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.467407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36824746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.394805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57065 KachelY 8919 2.32944570 1.36824746 133.467407 78.394805
    Oben rechts KachelX + 1 57066 KachelY 8919 2.32954157 1.36824746 133.472900 78.394805
    Unten links KachelX 57065 KachelY + 1 8920 2.32944570 1.36822817 133.467407 78.393700
    Unten rechts KachelX + 1 57066 KachelY + 1 8920 2.32954157 1.36822817 133.472900 78.393700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36824746-1.36822817) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dl = 122.896590000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36824746-1.36822817) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dr = 122.896590000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32944570-2.32954157) × cos(1.36824746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201166741897893 × 6371000     		do = 122.870185681977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32944570-2.32954157) × cos(1.36822817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201185637515247 × 6371000     		du = 122.881726893964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36824746)-sin(1.36822817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201166741897893-0.201185637515247)×R²
    abs(2.32954157-2.32944570)×1.88956173544363e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.88956173544363e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.88956173544363e-05×40589641000000     		ar = 15101.0360210072m²