Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57062 / 29434
↖ ↑ ↗
← N 69.905780°
W 23.274536°		 ← 104.93 m → N 69.905780°
W 23.271790°		 →
↑
104.93 m
↓
↑
104.93 m
↓
N 69.904837°
W 23.274536°		 ← 104.94 m →
11 011 m²		 N 69.904837°
W 23.271790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435352325439453 y=0.224567413330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435352325439453 × 217)
    floor (0.435352325439453 × 131072)
    floor (57062.5)     		tx = 57062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224567413330078 × 217)
    floor (0.224567413330078 × 131072)
    floor (29434.5)     		ty = 29434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57062 / 29434 ti = "17/57062/29434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57062/29434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57062 ÷ 217
    57062 ÷ 131072     		x = 0.435348510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29434 ÷ 217
    29434 ÷ 131072     		y = 0.224563598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435348510742188 × 2 - 1) × π
    -0.129302978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40621729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224563598632812 × 2 - 1) × π
    0.550872802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73061795008327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40621729} λ = -0.40621729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73061795008327))-π/2
    2×atan(5.64414062817914)-π/2
    2×1.39544117843707-π/2
    2.79088235687413-1.57079632675     		φ = 1.22008603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40621729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.274536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22008603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.905780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57062 KachelY 29434 -0.40621729 1.22008603 -23.274536 69.905780
    Oben rechts KachelX + 1 57063 KachelY 29434 -0.40616935 1.22008603 -23.271790 69.905780
    Unten links KachelX 57062 KachelY + 1 29435 -0.40621729 1.22006956 -23.274536 69.904837
    Unten rechts KachelX + 1 57063 KachelY + 1 29435 -0.40616935 1.22006956 -23.271790 69.904837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22008603-1.22006956) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dl = 104.930370000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22008603-1.22006956) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dr = 104.930370000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40621729--0.40616935) × cos(1.22008603) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.343564954326834 × 6371000     		do = 104.933580413392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40621729--0.40616935) × cos(1.22006956) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.343580421733493 × 6371000     		du = 104.938304557517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22008603)-sin(1.22006956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343564954326834-0.343580421733493)×R²
    abs(-0.40616935--0.40621729)×1.54674066593086e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.54674066593086e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.54674066593086e-05×40589641000000     		ar = 11010.9672714715m²