Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57061 / 8917
↖ ↑ ↗
← N 78.397015°
E133.445434°		 ← 122.86 m → N 78.397015°
E133.450928°		 →
↑
122.90 m
↓
↑
122.90 m
↓
N 78.395909°
E133.445434°		 ← 122.87 m →
15 100 m²		 N 78.395909°
E133.450928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870689392089844 y=0.136070251464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870689392089844 × 216)
    floor (0.870689392089844 × 65536)
    floor (57061.5)     		tx = 57061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136070251464844 × 216)
    floor (0.136070251464844 × 65536)
    floor (8917.5)     		ty = 8917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57061 / 8917 ti = "16/57061/8917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57061/8917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57061 ÷ 216
    57061 ÷ 65536     		x = 0.870681762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8917 ÷ 216
    8917 ÷ 65536     		y = 0.136062622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870681762695312 × 2 - 1) × π
    0.741363525390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32906220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136062622070312 × 2 - 1) × π
    0.727874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28668598567592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32906220} λ = 2.32906220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28668598567592))-π/2
    2×atan(9.84226616308958)-π/2
    2×1.46954117780499-π/2
    2.93908235560998-1.57079632675     		φ = 1.36828603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32906220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.445434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36828603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.397015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57061 KachelY 8917 2.32906220 1.36828603 133.445434 78.397015
    Oben rechts KachelX + 1 57062 KachelY 8917 2.32915808 1.36828603 133.450928 78.397015
    Unten links KachelX 57061 KachelY + 1 8918 2.32906220 1.36826674 133.445434 78.395909
    Unten rechts KachelX + 1 57062 KachelY + 1 8918 2.32915808 1.36826674 133.450928 78.395909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36828603-1.36826674) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dl = 122.896590000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36828603-1.36826674) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dr = 122.896590000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32906220-2.32915808) × cos(1.36828603) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.201128960234274 × 6371000     		do = 122.859923029887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32906220-2.32915808) × cos(1.36826674) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.201147856001293 × 6371000     		du = 122.871465537136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36828603)-sin(1.36826674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201128960234274-0.201147856001293)×R²
    abs(2.32915808-2.32906220)×1.88957670185508e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.88957670185508e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.88957670185508e-05×40589641000000     		ar = 15099.7748558668m²