Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57060 / 8900
↖ ↑ ↗
← N 78.415782°
E133.439941°		 ← 122.65 m → N 78.415782°
E133.445434°		 →
↑
122.64 m
↓
↑
122.64 m
↓
N 78.414679°
E133.439941°		 ← 122.66 m →
15 043 m²		 N 78.414679°
E133.445434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870674133300781 y=0.135810852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870674133300781 × 216)
    floor (0.870674133300781 × 65536)
    floor (57060.5)     		tx = 57060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135810852050781 × 216)
    floor (0.135810852050781 × 65536)
    floor (8900.5)     		ty = 8900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57060 / 8900 ti = "16/57060/8900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57060/8900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57060 ÷ 216
    57060 ÷ 65536     		x = 0.87066650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8900 ÷ 216
    8900 ÷ 65536     		y = 0.13580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87066650390625 × 2 - 1) × π
    0.7413330078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32896633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13580322265625 × 2 - 1) × π
    0.7283935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.288315840263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32896633} λ = 2.32896633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.288315840263))-π/2
    2×atan(9.85832070547357)-π/2
    2×1.46970495251033-π/2
    2.93940990502067-1.57079632675     		φ = 1.36861358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32896633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.439941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36861358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.415782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57060 KachelY 8900 2.32896633 1.36861358 133.439941 78.415782
    Oben rechts KachelX + 1 57061 KachelY 8900 2.32906220 1.36861358 133.445434 78.415782
    Unten links KachelX 57060 KachelY + 1 8901 2.32896633 1.36859433 133.439941 78.414679
    Unten rechts KachelX + 1 57061 KachelY + 1 8901 2.32906220 1.36859433 133.445434 78.414679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36861358-1.36859433) × R
    1.92500000000262e-05 × 6371000     		dl = 122.641750000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36861358-1.36859433) × R
    1.92500000000262e-05 × 6371000     		dr = 122.641750000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32896633-2.32906220) × cos(1.36861358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200808093009679 × 6371000     		do = 122.651127327332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32896633-2.32906220) × cos(1.36859433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200826950861495 × 6371000     		du = 122.66264547259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36861358)-sin(1.36859433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200808093009679-0.200826950861495)×R²
    abs(2.32906220-2.32896633)×1.88578518166282e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.88578518166282e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.88578518166282e-05×40589641000000     		ar = 15042.8551981154m²