Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57060 / 29432
↖ ↑ ↗
← N 69.907667°
W 23.280029°		 ← 104.92 m → N 69.907667°
W 23.277282°		 →
↑
104.93 m
↓
↑
104.93 m
↓
N 69.906724°
W 23.280029°		 ← 104.93 m →
11 010 m²		 N 69.906724°
W 23.277282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435337066650391 y=0.224552154541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435337066650391 × 217)
    floor (0.435337066650391 × 131072)
    floor (57060.5)     		tx = 57060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224552154541016 × 217)
    floor (0.224552154541016 × 131072)
    floor (29432.5)     		ty = 29432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57060 / 29432 ti = "17/57060/29432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57060/29432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57060 ÷ 217
    57060 ÷ 131072     		x = 0.435333251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29432 ÷ 217
    29432 ÷ 131072     		y = 0.22454833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435333251953125 × 2 - 1) × π
    -0.12933349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40631316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22454833984375 × 2 - 1) × π
    0.5509033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73071382388251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40631316} λ = -0.40631316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73071382388251))-π/2
    2×atan(5.6446817793253)-π/2
    2×1.39545764713437-π/2
    2.79091529426875-1.57079632675     		φ = 1.22011897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40631316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.280029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22011897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.907667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57060 KachelY 29432 -0.40631316 1.22011897 -23.280029 69.907667
    Oben rechts KachelX + 1 57061 KachelY 29432 -0.40626522 1.22011897 -23.277282 69.907667
    Unten links KachelX 57060 KachelY + 1 29433 -0.40631316 1.22010250 -23.280029 69.906724
    Unten rechts KachelX + 1 57061 KachelY + 1 29433 -0.40626522 1.22010250 -23.277282 69.906724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22011897-1.22010250) × R
    1.64699999998241e-05 × 6371000     		dl = 104.930369998879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22011897-1.22010250) × R
    1.64699999998241e-05 × 6371000     		dr = 104.930369998879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40631316--0.40626522) × cos(1.22011897) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.343534019233932 × 6371000     		do = 104.924132039751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40631316--0.40626522) × cos(1.22010250) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.343549486826979 × 6371000     		du = 104.928856240803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22011897)-sin(1.22010250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343534019233932-0.343549486826979)×R²
    abs(-0.40626522--0.40631316)×1.5467593046381e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.5467593046381e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.5467593046381e-05×40589641000000     		ar = 11009.9758531211m²