Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57057 / 85224
↖ ↑ ↗
← S 47.472663°
W 23.288269°		 ← 206.45 m → S 47.472663°
W 23.285522°		 →
↑
206.42 m
↓
↑
206.42 m
↓
S 47.474519°
W 23.288269°		 ← 206.44 m →
42 615 m²		 S 47.474519°
W 23.285522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435314178466797 y=0.650211334228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435314178466797 × 217)
    floor (0.435314178466797 × 131072)
    floor (57057.5)     		tx = 57057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650211334228516 × 217)
    floor (0.650211334228516 × 131072)
    floor (85224.5)     		ty = 85224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57057 / 85224 ti = "17/57057/85224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57057/85224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57057 ÷ 217
    57057 ÷ 131072     		x = 0.435310363769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85224 ÷ 217
    85224 ÷ 131072     		y = 0.65020751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435310363769531 × 2 - 1) × π
    -0.129379272460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.40645697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65020751953125 × 2 - 1) × π
    -0.3004150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.943781679719666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40645697} λ = -0.40645697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943781679719666))-π/2
    2×atan(0.389153395682096)-π/2
    2×0.371121027533285-π/2
    0.74224205506657-1.57079632675     		φ = -0.82855427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40645697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.288269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82855427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.472663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57057 KachelY 85224 -0.40645697 -0.82855427 -23.288269 -47.472663
    Oben rechts KachelX + 1 57058 KachelY 85224 -0.40640903 -0.82855427 -23.285522 -47.472663
    Unten links KachelX 57057 KachelY + 1 85225 -0.40645697 -0.82858667 -23.288269 -47.474519
    Unten rechts KachelX + 1 57058 KachelY + 1 85225 -0.40640903 -0.82858667 -23.285522 -47.474519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82855427--0.82858667) × R
    3.23999999999325e-05 × 6371000     		dl = 206.42039999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82855427--0.82858667) × R
    3.23999999999325e-05 × 6371000     		dr = 206.42039999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40645697--0.40640903) × cos(-0.82855427) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675941903930099 × 6371000     		do = 206.450056204724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40645697--0.40640903) × cos(-0.82858667) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675918026236162 × 6371000     		du = 206.442763342384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82855427)-sin(-0.82858667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675941903930099-0.675918026236162)×R²
    abs(-0.40640903--0.40645697)×2.38776939370799e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38776939370799e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38776939370799e-05×40589641000000     		ar = 42614.7504878608m²