Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57057 / 29025
↖ ↑ ↗
← N 70.288191°
W 23.288269°		 ← 103.02 m → N 70.288191°
W 23.285522°		 →
↑
103.02 m
↓
↑
103.02 m
↓
N 70.287264°
W 23.288269°		 ← 103.02 m →
10 613 m²		 N 70.287264°
W 23.285522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435314178466797 y=0.221446990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435314178466797 × 217)
    floor (0.435314178466797 × 131072)
    floor (57057.5)     		tx = 57057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221446990966797 × 217)
    floor (0.221446990966797 × 131072)
    floor (29025.5)     		ty = 29025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57057 / 29025 ti = "17/57057/29025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57057/29025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57057 ÷ 217
    57057 ÷ 131072     		x = 0.435310363769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29025 ÷ 217
    29025 ÷ 131072     		y = 0.221443176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435310363769531 × 2 - 1) × π
    -0.129379272460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.40645697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221443176269531 × 2 - 1) × π
    0.557113647460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.75022414202787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40645697} λ = -0.40645697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75022414202787))-π/2
    2×atan(5.75589266888453)-π/2
    2×1.39877833614165-π/2
    2.79755667228329-1.57079632675     		φ = 1.22676035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40645697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.288269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22676035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.288191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57057 KachelY 29025 -0.40645697 1.22676035 -23.288269 70.288191
    Oben rechts KachelX + 1 57058 KachelY 29025 -0.40640903 1.22676035 -23.285522 70.288191
    Unten links KachelX 57057 KachelY + 1 29026 -0.40645697 1.22674418 -23.288269 70.287264
    Unten rechts KachelX + 1 57058 KachelY + 1 29026 -0.40640903 1.22674418 -23.285522 70.287264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22676035-1.22674418) × R
    1.6169999999871e-05 × 6371000     		dl = 103.019069999178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22676035-1.22674418) × R
    1.6169999999871e-05 × 6371000     		dr = 103.019069999178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40645697--0.40640903) × cos(1.22676035) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337289301664282 × 6371000     		do = 103.016834554829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40645697--0.40640903) × cos(1.22674418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337304524075079 × 6371000     		du = 103.021483870911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22676035)-sin(1.22674418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337289301664282-0.337304524075079)×R²
    abs(-0.40640903--0.40645697)×1.52224107968779e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52224107968779e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52224107968779e-05×40589641000000     		ar = 10612.9379745083m²