Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57055 / 8929
↖ ↑ ↗
← N 78.383749°
E133.412475°		 ← 123 m → N 78.383749°
E133.417969°		 →
↑
122.96 m
↓
↑
122.96 m
↓
N 78.382643°
E133.412475°		 ← 123.01 m →
15 125 m²		 N 78.382643°
E133.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870597839355469 y=0.136253356933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870597839355469 × 216)
    floor (0.870597839355469 × 65536)
    floor (57055.5)     		tx = 57055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136253356933594 × 216)
    floor (0.136253356933594 × 65536)
    floor (8929.5)     		ty = 8929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57055 / 8929 ti = "16/57055/8929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57055/8929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57055 ÷ 216
    57055 ÷ 65536     		x = 0.870590209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8929 ÷ 216
    8929 ÷ 65536     		y = 0.136245727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870590209960938 × 2 - 1) × π
    0.741180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.32848696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136245727539062 × 2 - 1) × π
    0.727508544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28553550008504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32848696} λ = 2.32848696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28553550008504))-π/2
    2×atan(9.83094928888595)-π/2
    2×1.46942541460115-π/2
    2.9388508292023-1.57079632675     		φ = 1.36805450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32848696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.412475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36805450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.383749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57055 KachelY 8929 2.32848696 1.36805450 133.412475 78.383749
    Oben rechts KachelX + 1 57056 KachelY 8929 2.32858284 1.36805450 133.417969 78.383749
    Unten links KachelX 57055 KachelY + 1 8930 2.32848696 1.36803520 133.412475 78.382643
    Unten rechts KachelX + 1 57056 KachelY + 1 8930 2.32858284 1.36803520 133.417969 78.382643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36805450-1.36803520) × R
    1.92999999999444e-05 × 6371000     		dl = 122.960299999646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36805450-1.36803520) × R
    1.92999999999444e-05 × 6371000     		dr = 122.960299999646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32848696-2.32858284) × cos(1.36805450) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.201355753472895 × 6371000     		do = 122.998460015352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32848696-2.32858284) × cos(1.36803520) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.201374658136223 × 6371000     		du = 123.010007956925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36805450)-sin(1.36803520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201355753472895-0.201374658136223)×R²
    abs(2.32858284-2.32848696)×1.89046633278511e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.89046633278511e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.89046633278511e-05×40589641000000     		ar = 15124.6375126749m²