Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57055 / 29217
↖ ↑ ↗
← N 70.109550°
W 23.293762°		 ← 103.91 m → N 70.109550°
W 23.291016°		 →
↑
103.91 m
↓
↑
103.91 m
↓
N 70.108616°
W 23.293762°		 ← 103.92 m →
10 798 m²		 N 70.108616°
W 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435298919677734 y=0.222911834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435298919677734 × 217)
    floor (0.435298919677734 × 131072)
    floor (57055.5)     		tx = 57055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222911834716797 × 217)
    floor (0.222911834716797 × 131072)
    floor (29217.5)     		ty = 29217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57055 / 29217 ti = "17/57055/29217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57055/29217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57055 ÷ 217
    57055 ÷ 131072     		x = 0.435295104980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29217 ÷ 217
    29217 ÷ 131072     		y = 0.222908020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435295104980469 × 2 - 1) × π
    -0.129409790039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40655285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222908020019531 × 2 - 1) × π
    0.554183959960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.74102025730082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40655285} λ = -0.40655285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74102025730082))-π/2
    2×atan(5.70315914515643)-π/2
    2×1.39721940875878-π/2
    2.79443881751755-1.57079632675     		φ = 1.22364249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40655285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.293762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22364249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.109550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57055 KachelY 29217 -0.40655285 1.22364249 -23.293762 70.109550
    Oben rechts KachelX + 1 57056 KachelY 29217 -0.40650491 1.22364249 -23.291016 70.109550
    Unten links KachelX 57055 KachelY + 1 29218 -0.40655285 1.22362618 -23.293762 70.108616
    Unten rechts KachelX + 1 57056 KachelY + 1 29218 -0.40650491 1.22362618 -23.291016 70.108616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22364249-1.22362618) × R
    1.63100000001304e-05 × 6371000     		dl = 103.911010000831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22364249-1.22362618) × R
    1.63100000001304e-05 × 6371000     		dr = 103.911010000831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40655285--0.40650491) × cos(1.22364249) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.340222814168158 × 6371000     		do = 103.912804782244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40655285--0.40650491) × cos(1.22362618) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.340238151147407 × 6371000     		du = 103.917489090481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22364249)-sin(1.22362618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340222814168158-0.340238151147407)×R²
    abs(-0.40650491--0.40655285)×1.53369792488256e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.53369792488256e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.53369792488256e-05×40589641000000     		ar = 10797.927872928m²