Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57053 / 38715
↖ ↑ ↗
← N 59.092793°
W 23.299255°		 ← 156.88 m → N 59.092793°
W 23.296509°		 →
↑
156.92 m
↓
↑
156.92 m
↓
N 59.091382°
W 23.299255°		 ← 156.89 m →
24 618 m²		 N 59.091382°
W 23.296509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435283660888672 y=0.295375823974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435283660888672 × 217)
    floor (0.435283660888672 × 131072)
    floor (57053.5)     		tx = 57053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295375823974609 × 217)
    floor (0.295375823974609 × 131072)
    floor (38715.5)     		ty = 38715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57053 / 38715 ti = "17/57053/38715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57053/38715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57053 ÷ 217
    57053 ÷ 131072     		x = 0.435279846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38715 ÷ 217
    38715 ÷ 131072     		y = 0.295372009277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435279846191406 × 2 - 1) × π
    -0.129440307617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.40664872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295372009277344 × 2 - 1) × π
    0.409255981445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.28571558470953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40664872} λ = -0.40664872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28571558470953))-π/2
    2×atan(3.61725548402454)-π/2
    2×1.30108006609849-π/2
    2.60216013219699-1.57079632675     		φ = 1.03136381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40664872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.299255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03136381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.092793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57053 KachelY 38715 -0.40664872 1.03136381 -23.299255 59.092793
    Oben rechts KachelX + 1 57054 KachelY 38715 -0.40660078 1.03136381 -23.296509 59.092793
    Unten links KachelX 57053 KachelY + 1 38716 -0.40664872 1.03133918 -23.299255 59.091382
    Unten rechts KachelX + 1 57054 KachelY + 1 38716 -0.40660078 1.03133918 -23.296509 59.091382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03136381-1.03133918) × R
    2.462999999997e-05 × 6371000     		dl = 156.917729999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03136381-1.03133918) × R
    2.462999999997e-05 × 6371000     		dr = 156.917729999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40664872--0.40660078) × cos(1.03136381) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.51364917362224 × 6371000     		do = 156.88167895404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40664872--0.40660078) × cos(1.03133918) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.513670306013995 × 6371000     		du = 156.88813333043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03136381)-sin(1.03133918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51364917362224-0.513670306013995)×R²
    abs(-0.40660078--0.40664872)×2.1132391754608e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1132391754608e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1132391754608e-05×40589641000000     		ar = 24618.02334429m²