Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57051 / 80930
↖ ↑ ↗
← S 38.895308°
W 23.304748°		 ← 237.66 m → S 38.895308°
W 23.302002°		 →
↑
237.70 m
↓
↑
237.70 m
↓
S 38.897446°
W 23.304748°		 ← 237.65 m →
56 492 m²		 S 38.897446°
W 23.302002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435268402099609 y=0.617450714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435268402099609 × 217)
    floor (0.435268402099609 × 131072)
    floor (57051.5)     		tx = 57051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617450714111328 × 217)
    floor (0.617450714111328 × 131072)
    floor (80930.5)     		ty = 80930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57051 / 80930 ti = "17/57051/80930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57051/80930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57051 ÷ 217
    57051 ÷ 131072     		x = 0.435264587402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80930 ÷ 217
    80930 ÷ 131072     		y = 0.617446899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435264587402344 × 2 - 1) × π
    -0.129470825195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.40674459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617446899414062 × 2 - 1) × π
    -0.234893798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.737940632751144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40674459} λ = -0.40674459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.737940632751144))-π/2
    2×atan(0.478097480705988)-π/2
    2×0.445972567092413-π/2
    0.891945134184825-1.57079632675     		φ = -0.67885119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40674459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.304748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67885119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.895308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57051 KachelY 80930 -0.40674459 -0.67885119 -23.304748 -38.895308
    Oben rechts KachelX + 1 57052 KachelY 80930 -0.40669666 -0.67885119 -23.302002 -38.895308
    Unten links KachelX 57051 KachelY + 1 80931 -0.40674459 -0.67888850 -23.304748 -38.897446
    Unten rechts KachelX + 1 57052 KachelY + 1 80931 -0.40669666 -0.67888850 -23.302002 -38.897446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67885119--0.67888850) × R
    3.73099999999571e-05 × 6371000     		dl = 237.702009999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67885119--0.67888850) × R
    3.73099999999571e-05 × 6371000     		dr = 237.702009999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40674459--0.40669666) × cos(-0.67885119) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.778294569199613 × 6371000     		do = 237.661609588915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40674459--0.40669666) × cos(-0.67888850) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.778271141734059 × 6371000     		du = 237.654455730476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67885119)-sin(-0.67888850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778294569199613-0.778271141734059)×R²
    abs(-0.40669666--0.40674459)×2.3427465553616e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3427465553616e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3427465553616e-05×40589641000000     		ar = 56491.7920622039m²