Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57049 / 8937
↖ ↑ ↗
← N 78.374897°
E133.379517°		 ← 123.08 m → N 78.374897°
E133.385010°		 →
↑
123.09 m
↓
↑
123.09 m
↓
N 78.373790°
E133.379517°		 ← 123.09 m →
15 150 m²		 N 78.373790°
E133.385010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870506286621094 y=0.136375427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870506286621094 × 216)
    floor (0.870506286621094 × 65536)
    floor (57049.5)     		tx = 57049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136375427246094 × 216)
    floor (0.136375427246094 × 65536)
    floor (8937.5)     		ty = 8937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57049 / 8937 ti = "16/57049/8937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57049/8937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57049 ÷ 216
    57049 ÷ 65536     		x = 0.870498657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8937 ÷ 216
    8937 ÷ 65536     		y = 0.136367797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870498657226562 × 2 - 1) × π
    0.740997314453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32791172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136367797851562 × 2 - 1) × π
    0.727264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28476850969112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32791172} λ = 2.32791172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28476850969112))-π/2
    2×atan(9.82341193612634)-π/2
    2×1.46934816662419-π/2
    2.93869633324838-1.57079632675     		φ = 1.36790001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32791172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.379517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36790001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.374897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57049 KachelY 8937 2.32791172 1.36790001 133.379517 78.374897
    Oben rechts KachelX + 1 57050 KachelY 8937 2.32800759 1.36790001 133.385010 78.374897
    Unten links KachelX 57049 KachelY + 1 8938 2.32791172 1.36788069 133.379517 78.373790
    Unten rechts KachelX + 1 57050 KachelY + 1 8938 2.32800759 1.36788069 133.385010 78.373790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36790001-1.36788069) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dl = 123.087720000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36790001-1.36788069) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dr = 123.087720000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32791172-2.32800759) × cos(1.36790001) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201507076832678 × 6371000     		do = 123.078058097848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32791172-2.32800759) × cos(1.36788069) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201526000485042 × 6371000     		du = 123.089616433275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36790001)-sin(1.36788069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201507076832678-0.201526000485042)×R²
    abs(2.32800759-2.32791172)×1.89236523637226e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.89236523637226e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.89236523637226e-05×40589641000000     		ar = 15150.1088982666m²