Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57049 / 38680
↖ ↑ ↗
← N 59.142135°
W 23.310242°		 ← 156.66 m → N 59.142135°
W 23.307495°		 →
↑
156.66 m
↓
↑
156.66 m
↓
N 59.140726°
W 23.310242°		 ← 156.66 m →
24 543 m²		 N 59.140726°
W 23.307495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435253143310547 y=0.295108795166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435253143310547 × 217)
    floor (0.435253143310547 × 131072)
    floor (57049.5)     		tx = 57049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295108795166016 × 217)
    floor (0.295108795166016 × 131072)
    floor (38680.5)     		ty = 38680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57049 / 38680 ti = "17/57049/38680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57049/38680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57049 ÷ 217
    57049 ÷ 131072     		x = 0.435249328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38680 ÷ 217
    38680 ÷ 131072     		y = 0.29510498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435249328613281 × 2 - 1) × π
    -0.129501342773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.40684047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29510498046875 × 2 - 1) × π
    0.4097900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28739337619623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40684047} λ = -0.40684047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28739337619623))-π/2
    2×atan(3.62332957858806)-π/2
    2×1.30151065415392-π/2
    2.60302130830784-1.57079632675     		φ = 1.03222498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40684047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.310242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03222498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.142135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57049 KachelY 38680 -0.40684047 1.03222498 -23.310242 59.142135
    Oben rechts KachelX + 1 57050 KachelY 38680 -0.40679253 1.03222498 -23.307495 59.142135
    Unten links KachelX 57049 KachelY + 1 38681 -0.40684047 1.03220039 -23.310242 59.140726
    Unten rechts KachelX + 1 57050 KachelY + 1 38681 -0.40679253 1.03220039 -23.307495 59.140726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03222498-1.03220039) × R
    2.4589999999991e-05 × 6371000     		dl = 156.662889999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03222498-1.03220039) × R
    2.4589999999991e-05 × 6371000     		dr = 156.662889999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40684047--0.40679253) × cos(1.03222498) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.512910099124739 × 6371000     		do = 156.655946578725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40684047--0.40679253) × cos(1.03220039) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.512931208066508 × 6371000     		du = 156.662393792886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03222498)-sin(1.03220039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512910099124739-0.512931208066508)×R²
    abs(-0.40679253--0.40684047)×2.11089417690991e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11089417690991e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11089417690991e-05×40589641000000     		ar = 24542.6783475236m²