Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57048 / 85192
↖ ↑ ↗
← S 47.413220°
W 23.312988°		 ← 206.64 m → S 47.413220°
W 23.310242°		 →
↑
206.68 m
↓
↑
206.68 m
↓
S 47.415079°
W 23.312988°		 ← 206.63 m →
42 707 m²		 S 47.415079°
W 23.310242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435245513916016 y=0.649967193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435245513916016 × 217)
    floor (0.435245513916016 × 131072)
    floor (57048.5)     		tx = 57048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649967193603516 × 217)
    floor (0.649967193603516 × 131072)
    floor (85192.5)     		ty = 85192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57048 / 85192 ti = "17/57048/85192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57048/85192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57048 ÷ 217
    57048 ÷ 131072     		x = 0.43524169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85192 ÷ 217
    85192 ÷ 131072     		y = 0.64996337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43524169921875 × 2 - 1) × π
    -0.1295166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40688840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64996337890625 × 2 - 1) × π
    -0.2999267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.942247698931824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40688840} λ = -0.40688840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942247698931824))-π/2
    2×atan(0.389750807606655)-π/2
    2×0.371639761539079-π/2
    0.743279523078159-1.57079632675     		φ = -0.82751680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40688840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.312988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82751680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.413220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57048 KachelY 85192 -0.40688840 -0.82751680 -23.312988 -47.413220
    Oben rechts KachelX + 1 57049 KachelY 85192 -0.40684047 -0.82751680 -23.310242 -47.413220
    Unten links KachelX 57048 KachelY + 1 85193 -0.40688840 -0.82754924 -23.312988 -47.415079
    Unten rechts KachelX + 1 57049 KachelY + 1 85193 -0.40684047 -0.82754924 -23.310242 -47.415079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82751680--0.82754924) × R
    3.24399999999114e-05 × 6371000     		dl = 206.675239999436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82751680--0.82754924) × R
    3.24399999999114e-05 × 6371000     		dr = 206.675239999436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40688840--0.40684047) × cos(-0.82751680) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.676706108632656 × 6371000     		do = 206.640351045355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40688840--0.40684047) × cos(-0.82754924) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.676682224221286 × 6371000     		du = 206.633057653014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82751680)-sin(-0.82754924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676706108632656-0.676682224221286)×R²
    abs(-0.40684047--0.40688840)×2.38844113694681e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38844113694681e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38844113694681e-05×40589641000000     		ar = 42706.6904678082m²