Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57048 / 38681
↖ ↑ ↗
← N 59.140726°
W 23.312988°		 ← 156.63 m → N 59.140726°
W 23.310242°		 →
↑
156.66 m
↓
↑
156.66 m
↓
N 59.139317°
W 23.312988°		 ← 156.64 m →
24 539 m²		 N 59.139317°
W 23.310242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435245513916016 y=0.295116424560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435245513916016 × 217)
    floor (0.435245513916016 × 131072)
    floor (57048.5)     		tx = 57048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295116424560547 × 217)
    floor (0.295116424560547 × 131072)
    floor (38681.5)     		ty = 38681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57048 / 38681 ti = "17/57048/38681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57048/38681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57048 ÷ 217
    57048 ÷ 131072     		x = 0.43524169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38681 ÷ 217
    38681 ÷ 131072     		y = 0.295112609863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43524169921875 × 2 - 1) × π
    -0.1295166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40688840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295112609863281 × 2 - 1) × π
    0.409774780273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.28734543929661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40688840} λ = -0.40688840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28734543929661))-π/2
    2×atan(3.62315589156481)-π/2
    2×1.30149836024103-π/2
    2.60299672048207-1.57079632675     		φ = 1.03220039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40688840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.312988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03220039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.140726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57048 KachelY 38681 -0.40688840 1.03220039 -23.312988 59.140726
    Oben rechts KachelX + 1 57049 KachelY 38681 -0.40684047 1.03220039 -23.310242 59.140726
    Unten links KachelX 57048 KachelY + 1 38682 -0.40688840 1.03217580 -23.312988 59.139317
    Unten rechts KachelX + 1 57049 KachelY + 1 38682 -0.40684047 1.03217580 -23.310242 59.139317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03220039-1.03217580) × R
    2.4589999999991e-05 × 6371000     		dl = 156.662889999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03220039-1.03217580) × R
    2.4589999999991e-05 × 6371000     		dr = 156.662889999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40688840--0.40684047) × cos(1.03220039) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.512931208066508 × 6371000     		do = 156.629714945456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40688840--0.40684047) × cos(1.03217580) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.512952316698124 × 6371000     		du = 156.636160720056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03220039)-sin(1.03217580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512931208066508-0.512952316698124)×R²
    abs(-0.40684047--0.40688840)×2.11086316159736e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.11086316159736e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.11086316159736e-05×40589641000000     		ar = 24538.5687113988m²