Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57047 / 38683
↖ ↑ ↗
← N 59.137909°
W 23.315735°		 ← 156.68 m → N 59.137909°
W 23.312988°		 →
↑
156.73 m
↓
↑
156.73 m
↓
N 59.136499°
W 23.315735°		 ← 156.68 m →
24 556 m²		 N 59.136499°
W 23.312988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435237884521484 y=0.295131683349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435237884521484 × 217)
    floor (0.435237884521484 × 131072)
    floor (57047.5)     		tx = 57047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295131683349609 × 217)
    floor (0.295131683349609 × 131072)
    floor (38683.5)     		ty = 38683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57047 / 38683 ti = "17/57047/38683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57047/38683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57047 ÷ 217
    57047 ÷ 131072     		x = 0.435234069824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38683 ÷ 217
    38683 ÷ 131072     		y = 0.295127868652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435234069824219 × 2 - 1) × π
    -0.129531860351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.40693634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295127868652344 × 2 - 1) × π
    0.409744262695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.28724956549737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40693634} λ = -0.40693634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28724956549737))-π/2
    2×atan(3.62280854249535)-π/2
    2×1.30147377089751-π/2
    2.60294754179503-1.57079632675     		φ = 1.03215122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40693634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.315735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03215122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.137909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57047 KachelY 38683 -0.40693634 1.03215122 -23.315735 59.137909
    Oben rechts KachelX + 1 57048 KachelY 38683 -0.40688840 1.03215122 -23.312988 59.137909
    Unten links KachelX 57047 KachelY + 1 38684 -0.40693634 1.03212662 -23.315735 59.136499
    Unten rechts KachelX + 1 57048 KachelY + 1 38684 -0.40688840 1.03212662 -23.312988 59.136499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03215122-1.03212662) × R
    2.45999999999302e-05 × 6371000     		dl = 156.726599999556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03215122-1.03212662) × R
    2.45999999999302e-05 × 6371000     		dr = 156.726599999556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40693634--0.40688840) × cos(1.03215122) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.512973416435529 × 6371000     		do = 156.675285315228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40693634--0.40688840) × cos(1.03212662) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.512994533030845 × 6371000     		du = 156.681734866979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03215122)-sin(1.03212662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512973416435529-0.512994533030845)×R²
    abs(-0.40688840--0.40693634)×2.11165953162284e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11165953162284e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11165953162284e-05×40589641000000     		ar = 24555.6901809824m²