Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57046 / 8822
↖ ↑ ↗
← N 78.501507°
E133.363037°		 ← 121.76 m → N 78.501507°
E133.368530°		 →
↑
121.75 m
↓
↑
121.75 m
↓
N 78.500412°
E133.363037°		 ← 121.77 m →
14 824 m²		 N 78.500412°
E133.368530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870460510253906 y=0.134620666503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870460510253906 × 216)
    floor (0.870460510253906 × 65536)
    floor (57046.5)     		tx = 57046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134620666503906 × 216)
    floor (0.134620666503906 × 65536)
    floor (8822.5)     		ty = 8822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57046 / 8822 ti = "16/57046/8822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57046/8822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57046 ÷ 216
    57046 ÷ 65536     		x = 0.870452880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8822 ÷ 216
    8822 ÷ 65536     		y = 0.134613037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870452880859375 × 2 - 1) × π
    0.74090576171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.32762410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134613037109375 × 2 - 1) × π
    0.73077392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29579399660373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32762410} λ = 2.32762410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29579399660373))-π/2
    2×atan(9.93231910993527)-π/2
    2×1.4704530458449-π/2
    2.94090609168979-1.57079632675     		φ = 1.37010976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32762410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.363037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37010976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.501507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57046 KachelY 8822 2.32762410 1.37010976 133.363037 78.501507
    Oben rechts KachelX + 1 57047 KachelY 8822 2.32771997 1.37010976 133.368530 78.501507
    Unten links KachelX 57046 KachelY + 1 8823 2.32762410 1.37009065 133.363037 78.500412
    Unten rechts KachelX + 1 57047 KachelY + 1 8823 2.32771997 1.37009065 133.368530 78.500412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37010976-1.37009065) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dl = 121.749809999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37010976-1.37009065) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dr = 121.749809999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32762410-2.32771997) × cos(1.37010976) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.199342165087559 × 6371000     		do = 121.755756480799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32762410-2.32771997) × cos(1.37009065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.199360891512447 × 6371000     		du = 121.767194352097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37010976)-sin(1.37009065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199342165087559-0.199360891512447)×R²
    abs(2.32771997-2.32762410)×1.87264248887875e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.87264248887875e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.87264248887875e-05×40589641000000     		ar = 14824.4364978533m²