Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57045 / 85316
↖ ↑ ↗
← S 47.643186°
W 23.321228°		 ← 205.74 m → S 47.643186°
W 23.318482°		 →
↑
205.78 m
↓
↑
205.78 m
↓
S 47.645037°
W 23.321228°		 ← 205.73 m →
42 336 m²		 S 47.645037°
W 23.318482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435222625732422 y=0.650913238525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435222625732422 × 217)
    floor (0.435222625732422 × 131072)
    floor (57045.5)     		tx = 57045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650913238525391 × 217)
    floor (0.650913238525391 × 131072)
    floor (85316.5)     		ty = 85316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57045 / 85316 ti = "17/57045/85316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57045/85316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57045 ÷ 217
    57045 ÷ 131072     		x = 0.435218811035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85316 ÷ 217
    85316 ÷ 131072     		y = 0.650909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435218811035156 × 2 - 1) × π
    -0.129562377929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.40703221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.30181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.948191874484711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40703221} λ = -0.40703221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.948191874484711))-π/2
    2×atan(0.387440932337688)-π/2
    2×0.369632931566437-π/2
    0.739265863132874-1.57079632675     		φ = -0.83153046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40703221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.321228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83153046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.643186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57045 KachelY 85316 -0.40703221 -0.83153046 -23.321228 -47.643186
    Oben rechts KachelX + 1 57046 KachelY 85316 -0.40698428 -0.83153046 -23.318482 -47.643186
    Unten links KachelX 57045 KachelY + 1 85317 -0.40703221 -0.83156276 -23.321228 -47.645037
    Unten rechts KachelX + 1 57046 KachelY + 1 85317 -0.40698428 -0.83156276 -23.318482 -47.645037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83153046--0.83156276) × R
    3.22999999999851e-05 × 6371000     		dl = 205.783299999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83153046--0.83156276) × R
    3.22999999999851e-05 × 6371000     		dr = 205.783299999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40703221--0.40698428) × cos(-0.83153046) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.673745595682701 × 6371000     		do = 205.736322801355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40703221--0.40698428) × cos(-0.83156276) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.673721726814177 × 6371000     		du = 205.729034155208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83153046)-sin(-0.83156276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673745595682701-0.673721726814177)×R²
    abs(-0.40698428--0.40703221)×2.38688685235688e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38688685235688e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38688685235688e-05×40589641000000     		ar = 42336.3494987382m²