Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57044 / 30459
↖ ↑ ↗
← N 68.915946°
W 23.323975°		 ← 109.87 m → N 68.915946°
W 23.321228°		 →
↑
109.90 m
↓
↑
109.90 m
↓
N 68.914957°
W 23.323975°		 ← 109.88 m →
12 075 m²		 N 68.914957°
W 23.321228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435214996337891 y=0.232387542724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435214996337891 × 217)
    floor (0.435214996337891 × 131072)
    floor (57044.5)     		tx = 57044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232387542724609 × 217)
    floor (0.232387542724609 × 131072)
    floor (30459.5)     		ty = 30459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57044 / 30459 ti = "17/57044/30459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57044/30459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57044 ÷ 217
    57044 ÷ 131072     		x = 0.435211181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30459 ÷ 217
    30459 ÷ 131072     		y = 0.232383728027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435211181640625 × 2 - 1) × π
    -0.12957763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40708015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232383728027344 × 2 - 1) × π
    0.535232543945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.68148262797271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40708015} λ = -0.40708015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68148262797271))-π/2
    2×atan(5.37351699465367)-π/2
    2×1.38680324262583-π/2
    2.77360648525165-1.57079632675     		φ = 1.20281016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40708015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.323975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20281016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.915946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57044 KachelY 30459 -0.40708015 1.20281016 -23.323975 68.915946
    Oben rechts KachelX + 1 57045 KachelY 30459 -0.40703221 1.20281016 -23.321228 68.915946
    Unten links KachelX 57044 KachelY + 1 30460 -0.40708015 1.20279291 -23.323975 68.914957
    Unten rechts KachelX + 1 57045 KachelY + 1 30460 -0.40703221 1.20279291 -23.321228 68.914957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20281016-1.20279291) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dl = 109.8997499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20281016-1.20279291) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dr = 109.8997499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40708015--0.40703221) × cos(1.20281016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359737148197614 × 6371000     		do = 109.872984693674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40708015--0.40703221) × cos(1.20279291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359753243320205 × 6371000     		du = 109.877900558402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20281016)-sin(1.20279291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359737148197614-0.359753243320205)×R²
    abs(-0.40703221--0.40708015)×1.60951225905981e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60951225905981e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60951225905981e-05×40589641000000     		ar = 12075.2836759351m²