Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57043 / 8941
↖ ↑ ↗
← N 78.370468°
E133.346558°		 ← 123.12 m → N 78.370468°
E133.352051°		 →
↑
123.09 m
↓
↑
123.09 m
↓
N 78.369361°
E133.346558°		 ← 123.14 m →
15 156 m²		 N 78.369361°
E133.352051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870414733886719 y=0.136436462402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870414733886719 × 216)
    floor (0.870414733886719 × 65536)
    floor (57043.5)     		tx = 57043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136436462402344 × 216)
    floor (0.136436462402344 × 65536)
    floor (8941.5)     		ty = 8941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57043 / 8941 ti = "16/57043/8941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57043/8941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57043 ÷ 216
    57043 ÷ 65536     		x = 0.870407104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8941 ÷ 216
    8941 ÷ 65536     		y = 0.136428833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870407104492188 × 2 - 1) × π
    0.740814208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32733648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136428833007812 × 2 - 1) × π
    0.727142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28438501449416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32733648} λ = 2.32733648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28438501449416))-π/2
    2×atan(9.81964542709629)-π/2
    2×1.46930952086773-π/2
    2.93861904173546-1.57079632675     		φ = 1.36782271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32733648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.346558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36782271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.370468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57043 KachelY 8941 2.32733648 1.36782271 133.346558 78.370468
    Oben rechts KachelX + 1 57044 KachelY 8941 2.32743235 1.36782271 133.352051 78.370468
    Unten links KachelX 57043 KachelY + 1 8942 2.32733648 1.36780339 133.346558 78.369361
    Unten rechts KachelX + 1 57044 KachelY + 1 8942 2.32743235 1.36780339 133.352051 78.369361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36782271-1.36780339) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dl = 123.087720000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36782271-1.36780339) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dr = 123.087720000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32733648-2.32743235) × cos(1.36782271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201582790580202 × 6371000     		do = 123.124303128856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32733648-2.32743235) × cos(1.36780339) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201601713931557 × 6371000     		du = 123.135861280431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36782271)-sin(1.36780339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201582790580202-0.201601713931557)×R²
    abs(2.32743235-2.32733648)×1.89233513551434e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.89233513551434e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.89233513551434e-05×40589641000000     		ar = 15155.8010827151m²