Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57042 / 43941
↖ ↑ ↗
← N 50.894371°
W 23.329468°		 ← 192.65 m → N 50.894371°
W 23.326721°		 →
↑
192.60 m
↓
↑
192.60 m
↓
N 50.892639°
W 23.329468°		 ← 192.66 m →
37 104 m²		 N 50.892639°
W 23.326721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435199737548828 y=0.335247039794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435199737548828 × 217)
    floor (0.435199737548828 × 131072)
    floor (57042.5)     		tx = 57042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335247039794922 × 217)
    floor (0.335247039794922 × 131072)
    floor (43941.5)     		ty = 43941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57042 / 43941 ti = "17/57042/43941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57042/43941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57042 ÷ 217
    57042 ÷ 131072     		x = 0.435195922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43941 ÷ 217
    43941 ÷ 131072     		y = 0.335243225097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435195922851562 × 2 - 1) × π
    -0.129608154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40717603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335243225097656 × 2 - 1) × π
    0.329513549804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.03519734729511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40717603} λ = -0.40717603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03519734729511))-π/2
    2×atan(2.81566184404723)-π/2
    2×1.22953534075148-π/2
    2.45907068150297-1.57079632675     		φ = 0.88827435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40717603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.329468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88827435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.894371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57042 KachelY 43941 -0.40717603 0.88827435 -23.329468 50.894371
    Oben rechts KachelX + 1 57043 KachelY 43941 -0.40712809 0.88827435 -23.326721 50.894371
    Unten links KachelX 57042 KachelY + 1 43942 -0.40717603 0.88824412 -23.329468 50.892639
    Unten rechts KachelX + 1 57043 KachelY + 1 43942 -0.40712809 0.88824412 -23.326721 50.892639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88827435-0.88824412) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dl = 192.595330000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88827435-0.88824412) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dr = 192.595330000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40717603--0.40712809) × cos(0.88827435) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630752042616577 × 6371000     		do = 192.647909372776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40717603--0.40712809) × cos(0.88824412) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630775500338174 × 6371000     		du = 192.655073964754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88827435)-sin(0.88824412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630752042616577-0.630775500338174)×R²
    abs(-0.40712809--0.40717603)×2.34577215975085e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34577215975085e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34577215975085e-05×40589641000000     		ar = 37103.7776158105m²