Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57041 / 43942
↖ ↑ ↗
← N 50.892639°
W 23.332214°		 ← 192.61 m → N 50.892639°
W 23.329468°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
N 50.890907°
W 23.332214°		 ← 192.62 m →
37 110 m²		 N 50.890907°
W 23.329468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435192108154297 y=0.335254669189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435192108154297 × 217)
    floor (0.435192108154297 × 131072)
    floor (57041.5)     		tx = 57041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335254669189453 × 217)
    floor (0.335254669189453 × 131072)
    floor (43942.5)     		ty = 43942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57041 / 43942 ti = "17/57041/43942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57041/43942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57041 ÷ 217
    57041 ÷ 131072     		x = 0.435188293457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43942 ÷ 217
    43942 ÷ 131072     		y = 0.335250854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435188293457031 × 2 - 1) × π
    -0.129623413085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.40722396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335250854492188 × 2 - 1) × π
    0.329498291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03514941039549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40722396} λ = -0.40722396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03514941039549))-π/2
    2×atan(2.81552687318311)-π/2
    2×1.22952022232171-π/2
    2.45904044464342-1.57079632675     		φ = 0.88824412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40722396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.332214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88824412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.892639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57041 KachelY 43942 -0.40722396 0.88824412 -23.332214 50.892639
    Oben rechts KachelX + 1 57042 KachelY 43942 -0.40717603 0.88824412 -23.329468 50.892639
    Unten links KachelX 57041 KachelY + 1 43943 -0.40722396 0.88821388 -23.332214 50.890907
    Unten rechts KachelX + 1 57042 KachelY + 1 43943 -0.40717603 0.88821388 -23.329468 50.890907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88824412-0.88821388) × R
    3.02399999999592e-05 × 6371000     		dl = 192.65903999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88824412-0.88821388) × R
    3.02399999999592e-05 × 6371000     		dr = 192.65903999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40722396--0.40717603) × cos(0.88824412) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.630775500338174 × 6371000     		do = 192.614887257425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40722396--0.40717603) × cos(0.88821388) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.630798965242799 × 6371000     		du = 192.622052548335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88824412)-sin(0.88821388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630775500338174-0.630798965242799)×R²
    abs(-0.40717603--0.40722396)×2.34649046246815e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34649046246815e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34649046246815e-05×40589641000000     		ar = 37109.6895005528m²