Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57040 / 43945
↖ ↑ ↗
← N 50.887441°
W 23.334961°		 ← 192.68 m → N 50.887441°
W 23.332214°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
N 50.885709°
W 23.334961°		 ← 192.68 m →
37 122 m²		 N 50.885709°
W 23.332214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435184478759766 y=0.335277557373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435184478759766 × 217)
    floor (0.435184478759766 × 131072)
    floor (57040.5)     		tx = 57040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335277557373047 × 217)
    floor (0.335277557373047 × 131072)
    floor (43945.5)     		ty = 43945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57040 / 43945 ti = "17/57040/43945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57040/43945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57040 ÷ 217
    57040 ÷ 131072     		x = 0.4351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43945 ÷ 217
    43945 ÷ 131072     		y = 0.335273742675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4351806640625 × 2 - 1) × π
    -0.129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40727190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335273742675781 × 2 - 1) × π
    0.329452514648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.03500559969663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40727190} λ = -0.40727190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03500559969663))-π/2
    2×atan(2.81512199940911)-π/2
    2×1.2294748636581-π/2
    2.4589497273162-1.57079632675     		φ = 0.88815340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40727190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.334961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88815340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.887441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57040 KachelY 43945 -0.40727190 0.88815340 -23.334961 50.887441
    Oben rechts KachelX + 1 57041 KachelY 43945 -0.40722396 0.88815340 -23.332214 50.887441
    Unten links KachelX 57040 KachelY + 1 43946 -0.40727190 0.88812316 -23.334961 50.885709
    Unten rechts KachelX + 1 57041 KachelY + 1 43946 -0.40722396 0.88812316 -23.332214 50.885709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88815340-0.88812316) × R
    3.02399999999592e-05 × 6371000     		dl = 192.65903999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88815340-0.88812316) × R
    3.02399999999592e-05 × 6371000     		dr = 192.65903999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40727190--0.40722396) × cos(0.88815340) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63084589332151 × 6371000     		do = 192.67657379378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40727190--0.40722396) × cos(0.88812316) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630869356495553 × 6371000     		du = 192.683740051075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88815340)-sin(0.88812316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63084589332151-0.630869356495553)×R²
    abs(-0.40722396--0.40727190)×2.34631740434477e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34631740434477e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34631740434477e-05×40589641000000     		ar = 37121.574062391m²