Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57039 / 8946
↖ ↑ ↗
← N 78.364931°
E133.324585°		 ← 123.19 m → N 78.364931°
E133.330078°		 →
↑
123.22 m
↓
↑
123.22 m
↓
N 78.363823°
E133.324585°		 ← 123.21 m →
15 180 m²		 N 78.363823°
E133.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870353698730469 y=0.136512756347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870353698730469 × 216)
    floor (0.870353698730469 × 65536)
    floor (57039.5)     		tx = 57039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136512756347656 × 216)
    floor (0.136512756347656 × 65536)
    floor (8946.5)     		ty = 8946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57039 / 8946 ti = "16/57039/8946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57039/8946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57039 ÷ 216
    57039 ÷ 65536     		x = 0.870346069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8946 ÷ 216
    8946 ÷ 65536     		y = 0.136505126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870346069335938 × 2 - 1) × π
    0.740692138671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.32695298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136505126953125 × 2 - 1) × π
    0.72698974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28390564549796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32695298} λ = 2.32695298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28390564549796))-π/2
    2×atan(9.81493932159551)-π/2
    2×1.46926119325428-π/2
    2.93852238650856-1.57079632675     		φ = 1.36772606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32695298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.324585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36772606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.364931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57039 KachelY 8946 2.32695298 1.36772606 133.324585 78.364931
    Oben rechts KachelX + 1 57040 KachelY 8946 2.32704886 1.36772606 133.330078 78.364931
    Unten links KachelX 57039 KachelY + 1 8947 2.32695298 1.36770672 133.324585 78.363823
    Unten rechts KachelX + 1 57040 KachelY + 1 8947 2.32704886 1.36770672 133.330078 78.363823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36772606-1.36770672) × R
    1.93400000001454e-05 × 6371000     		dl = 123.215140000926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36772606-1.36770672) × R
    1.93400000001454e-05 × 6371000     		dr = 123.215140000926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32695298-2.32704886) × cos(1.36772606) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.201677455557003 × 6371000     		do = 123.194972209549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32695298-2.32704886) × cos(1.36770672) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.201696398120803 × 6371000     		du = 123.206543302681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36772606)-sin(1.36770672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201677455557003-0.201696398120803)×R²
    abs(2.32704886-2.32695298)×1.89425637999174e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.89425637999174e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.89425637999174e-05×40589641000000     		ar = 15180.1986155478m²