Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57039 / 85263
↖ ↑ ↗
← S 47.545018°
W 23.337708°		 ← 206.17 m → S 47.545018°
W 23.334961°		 →
↑
206.17 m
↓
↑
206.17 m
↓
S 47.546872°
W 23.337708°		 ← 206.16 m →
42 504 m²		 S 47.546872°
W 23.334961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435176849365234 y=0.650508880615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435176849365234 × 217)
    floor (0.435176849365234 × 131072)
    floor (57039.5)     		tx = 57039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650508880615234 × 217)
    floor (0.650508880615234 × 131072)
    floor (85263.5)     		ty = 85263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57039 / 85263 ti = "17/57039/85263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57039/85263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57039 ÷ 217
    57039 ÷ 131072     		x = 0.435173034667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85263 ÷ 217
    85263 ÷ 131072     		y = 0.650505065917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435173034667969 × 2 - 1) × π
    -0.129653930664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40731984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650505065917969 × 2 - 1) × π
    -0.301010131835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.945651218804848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40731984} λ = -0.40731984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.945651218804848))-π/2
    2×atan(0.388426537855003)-π/2
    2×0.370489612868832-π/2
    0.740979225737664-1.57079632675     		φ = -0.82981710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40731984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.337708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82981710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.545018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57039 KachelY 85263 -0.40731984 -0.82981710 -23.337708 -47.545018
    Oben rechts KachelX + 1 57040 KachelY 85263 -0.40727190 -0.82981710 -23.334961 -47.545018
    Unten links KachelX 57039 KachelY + 1 85264 -0.40731984 -0.82984946 -23.337708 -47.546872
    Unten rechts KachelX + 1 57040 KachelY + 1 85264 -0.40727190 -0.82984946 -23.334961 -47.546872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82981710--0.82984946) × R
    3.23600000000646e-05 × 6371000     		dl = 206.165560000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82981710--0.82984946) × R
    3.23600000000646e-05 × 6371000     		dr = 206.165560000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40731984--0.40727190) × cos(-0.82981710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67501071643018 × 6371000     		do = 206.165647573483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40731984--0.40727190) × cos(-0.82984946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.674986840612339 × 6371000     		du = 206.15835528415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82981710)-sin(-0.82984946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67501071643018-0.674986840612339)×R²
    abs(-0.40727190--0.40731984)×2.38758178416898e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38758178416898e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38758178416898e-05×40589641000000     		ar = 42503.5044791222m²