Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57038 / 29770
↖ ↑ ↗
← N 69.586312°
W 23.340454°		 ← 106.51 m → N 69.586312°
W 23.337708°		 →
↑
106.52 m
↓
↑
106.52 m
↓
N 69.585354°
W 23.340454°		 ← 106.51 m →
11 346 m²		 N 69.585354°
W 23.337708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435169219970703 y=0.227130889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435169219970703 × 217)
    floor (0.435169219970703 × 131072)
    floor (57038.5)     		tx = 57038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227130889892578 × 217)
    floor (0.227130889892578 × 131072)
    floor (29770.5)     		ty = 29770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57038 / 29770 ti = "17/57038/29770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57038/29770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57038 ÷ 217
    57038 ÷ 131072     		x = 0.435165405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29770 ÷ 217
    29770 ÷ 131072     		y = 0.227127075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435165405273438 × 2 - 1) × π
    -0.129669189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40736777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227127075195312 × 2 - 1) × π
    0.545745849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71451115181093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40736777} λ = -0.40736777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71451115181093))-π/2
    2×atan(5.55395980543823)-π/2
    2×1.3926532949058-π/2
    2.78530658981161-1.57079632675     		φ = 1.21451026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40736777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.340454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21451026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.586312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57038 KachelY 29770 -0.40736777 1.21451026 -23.340454 69.586312
    Oben rechts KachelX + 1 57039 KachelY 29770 -0.40731984 1.21451026 -23.337708 69.586312
    Unten links KachelX 57038 KachelY + 1 29771 -0.40736777 1.21449354 -23.340454 69.585354
    Unten rechts KachelX + 1 57039 KachelY + 1 29771 -0.40731984 1.21449354 -23.337708 69.585354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21451026-1.21449354) × R
    1.67199999998591e-05 × 6371000     		dl = 106.523119999102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21451026-1.21449354) × R
    1.67199999998591e-05 × 6371000     		dr = 106.523119999102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40736777--0.40731984) × cos(1.21451026) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.348795953466397 × 6371000     		do = 106.50904040635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40736777--0.40731984) × cos(1.21449354) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.348811623379723 × 6371000     		du = 106.513825402893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21451026)-sin(1.21449354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348795953466397-0.348811623379723)×R²
    abs(-0.40731984--0.40736777)×1.56699133264104e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56699133264104e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56699133264104e-05×40589641000000     		ar = 11345.9301489263m²