Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57037 / 38685
↖ ↑ ↗
← N 59.135090°
W 23.343201°		 ← 156.69 m → N 59.135090°
W 23.340454°		 →
↑
156.66 m
↓
↑
156.66 m
↓
N 59.133681°
W 23.343201°		 ← 156.69 m →
24 548 m²		 N 59.133681°
W 23.340454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435161590576172 y=0.295146942138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435161590576172 × 217)
    floor (0.435161590576172 × 131072)
    floor (57037.5)     		tx = 57037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295146942138672 × 217)
    floor (0.295146942138672 × 131072)
    floor (38685.5)     		ty = 38685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57037 / 38685 ti = "17/57037/38685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57037/38685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57037 ÷ 217
    57037 ÷ 131072     		x = 0.435157775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38685 ÷ 217
    38685 ÷ 131072     		y = 0.295143127441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435157775878906 × 2 - 1) × π
    -0.129684448242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.40741571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295143127441406 × 2 - 1) × π
    0.409713745117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.28715369169813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40741571} λ = -0.40741571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28715369169813))-π/2
    2×atan(3.62246122672597)-π/2
    2×1.30144917953024-π/2
    2.60289835906049-1.57079632675     		φ = 1.03210203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40741571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.343201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03210203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.135090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57037 KachelY 38685 -0.40741571 1.03210203 -23.343201 59.135090
    Oben rechts KachelX + 1 57038 KachelY 38685 -0.40736777 1.03210203 -23.340454 59.135090
    Unten links KachelX 57037 KachelY + 1 38686 -0.40741571 1.03207744 -23.343201 59.133681
    Unten rechts KachelX + 1 57038 KachelY + 1 38686 -0.40736777 1.03207744 -23.340454 59.133681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03210203-1.03207744) × R
    2.4589999999991e-05 × 6371000     		dl = 156.662889999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03210203-1.03207744) × R
    2.4589999999991e-05 × 6371000     		dr = 156.662889999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40741571--0.40736777) × cos(1.03210203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.513015640731925 × 6371000     		do = 156.68818170202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40741571--0.40736777) × cos(1.03207744) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.513036748122801 × 6371000     		du = 156.694628442497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03210203)-sin(1.03207744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513015640731925-0.513036748122801)×R²
    abs(-0.40736777--0.40741571)×2.11073908756854e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11073908756854e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11073908756854e-05×40589641000000     		ar = 24547.7283581386m²