Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57036 / 8940
↖ ↑ ↗
← N 78.371576°
E133.308105°		 ← 123.11 m → N 78.371576°
E133.313598°		 →
↑
123.15 m
↓
↑
123.15 m
↓
N 78.370468°
E133.308105°		 ← 123.12 m →
15 162 m²		 N 78.370468°
E133.313598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870307922363281 y=0.136421203613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870307922363281 × 216)
    floor (0.870307922363281 × 65536)
    floor (57036.5)     		tx = 57036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136421203613281 × 216)
    floor (0.136421203613281 × 65536)
    floor (8940.5)     		ty = 8940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57036 / 8940 ti = "16/57036/8940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57036/8940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57036 ÷ 216
    57036 ÷ 65536     		x = 0.87030029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8940 ÷ 216
    8940 ÷ 65536     		y = 0.13641357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87030029296875 × 2 - 1) × π
    0.7406005859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32666536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13641357421875 × 2 - 1) × π
    0.7271728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2844808882934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32666536} λ = 2.32666536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2844808882934))-π/2
    2×atan(9.82058691894205)-π/2
    2×1.46931918366779-π/2
    2.93863836733559-1.57079632675     		φ = 1.36784204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32666536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.308105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36784204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.371576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57036 KachelY 8940 2.32666536 1.36784204 133.308105 78.371576
    Oben rechts KachelX + 1 57037 KachelY 8940 2.32676123 1.36784204 133.313598 78.371576
    Unten links KachelX 57036 KachelY + 1 8941 2.32666536 1.36782271 133.308105 78.370468
    Unten rechts KachelX + 1 57037 KachelY + 1 8941 2.32676123 1.36782271 133.313598 78.370468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36784204-1.36782271) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dl = 123.151429999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36784204-1.36782271) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dr = 123.151429999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32666536-2.32676123) × cos(1.36784204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20156385735885 × 6371000     		do = 123.112738948807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32666536-2.32676123) × cos(1.36782271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201582790580202 × 6371000     		du = 123.124303128856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36784204)-sin(1.36782271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20156385735885-0.201582790580202)×R²
    abs(2.32676123-2.32666536)×1.89332213520743e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.89332213520743e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.89332213520743e-05×40589641000000     		ar = 15162.2219258152m²