Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57031 / 85299
↖ ↑ ↗
← S 47.611718°
W 23.359680°		 ← 205.90 m → S 47.611718°
W 23.356933°		 →
↑
205.91 m
↓
↑
205.91 m
↓
S 47.613570°
W 23.359680°		 ← 205.90 m →
42 397 m²		 S 47.613570°
W 23.356933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435115814208984 y=0.650783538818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435115814208984 × 217)
    floor (0.435115814208984 × 131072)
    floor (57031.5)     		tx = 57031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650783538818359 × 217)
    floor (0.650783538818359 × 131072)
    floor (85299.5)     		ty = 85299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57031 / 85299 ti = "17/57031/85299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57031/85299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57031 ÷ 217
    57031 ÷ 131072     		x = 0.435111999511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85299 ÷ 217
    85299 ÷ 131072     		y = 0.650779724121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435111999511719 × 2 - 1) × π
    -0.129776000976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.40770333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650779724121094 × 2 - 1) × π
    -0.301559448242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.94737694719117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40770333} λ = -0.40770333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94737694719117))-π/2
    2×atan(0.387756797214059)-π/2
    2×0.369907541065765-π/2
    0.739815082131529-1.57079632675     		φ = -0.83098124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40770333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.359680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83098124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.611718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57031 KachelY 85299 -0.40770333 -0.83098124 -23.359680 -47.611718
    Oben rechts KachelX + 1 57032 KachelY 85299 -0.40765539 -0.83098124 -23.356933 -47.611718
    Unten links KachelX 57031 KachelY + 1 85300 -0.40770333 -0.83101356 -23.359680 -47.613570
    Unten rechts KachelX + 1 57032 KachelY + 1 85300 -0.40765539 -0.83101356 -23.356933 -47.613570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83098124--0.83101356) × R
    3.23200000000856e-05 × 6371000     		dl = 205.910720000545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83098124--0.83101356) × R
    3.23200000000856e-05 × 6371000     		dr = 205.910720000545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40770333--0.40765539) × cos(-0.83098124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.674151347512933 × 6371000     		do = 205.903174186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40770333--0.40765539) × cos(-0.83101356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.674127475827613 × 6371000     		du = 205.895883158846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83098124)-sin(-0.83101356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674151347512933-0.674127475827613)×R²
    abs(-0.40765539--0.40770333)×2.38716853201426e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38716853201426e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38716853201426e-05×40589641000000     		ar = 42396.9202003883m²