Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57028 / 8981
↖ ↑ ↗
← N 78.326092°
E133.264160°		 ← 123.59 m → N 78.326092°
E133.269653°		 →
↑
123.60 m
↓
↑
123.60 m
↓
N 78.324981°
E133.264160°		 ← 123.60 m →
15 276 m²		 N 78.324981°
E133.269653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870185852050781 y=0.137046813964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870185852050781 × 216)
    floor (0.870185852050781 × 65536)
    floor (57028.5)     		tx = 57028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137046813964844 × 216)
    floor (0.137046813964844 × 65536)
    floor (8981.5)     		ty = 8981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57028 / 8981 ti = "16/57028/8981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57028/8981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57028 ÷ 216
    57028 ÷ 65536     		x = 0.87017822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8981 ÷ 216
    8981 ÷ 65536     		y = 0.137039184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87017822265625 × 2 - 1) × π
    0.7403564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32589837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137039184570312 × 2 - 1) × π
    0.725921630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28055006252455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32589837} λ = 2.32589837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28055006252455))-π/2
    2×atan(9.78205967436707)-π/2
    2×1.46892226389869-π/2
    2.93784452779739-1.57079632675     		φ = 1.36704820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32589837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.264160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36704820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.326092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57028 KachelY 8981 2.32589837 1.36704820 133.264160 78.326092
    Oben rechts KachelX + 1 57029 KachelY 8981 2.32599424 1.36704820 133.269653 78.326092
    Unten links KachelX 57028 KachelY + 1 8982 2.32589837 1.36702880 133.264160 78.324981
    Unten rechts KachelX + 1 57029 KachelY + 1 8982 2.32599424 1.36702880 133.269653 78.324981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36704820-1.36702880) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dl = 123.597400000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36704820-1.36702880) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dr = 123.597400000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32589837-2.32599424) × cos(1.36704820) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202341340498402 × 6371000     		do = 123.587616141827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32589837-2.32599424) × cos(1.36702880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20236033917244 × 6371000     		du = 123.599220299576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36704820)-sin(1.36702880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202341340498402-0.20236033917244)×R²
    abs(2.32599424-2.32589837)×1.89986740385117e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.89986740385117e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.89986740385117e-05×40589641000000     		ar = 15275.8251496323m²