Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57027 / 8933
↖ ↑ ↗
← N 78.379324°
E133.258667°		 ← 123.03 m → N 78.379324°
E133.264160°		 →
↑
123.02 m
↓
↑
123.02 m
↓
N 78.378218°
E133.258667°		 ← 123.04 m →
15 137 m²		 N 78.378218°
E133.264160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870170593261719 y=0.136314392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870170593261719 × 216)
    floor (0.870170593261719 × 65536)
    floor (57027.5)     		tx = 57027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136314392089844 × 216)
    floor (0.136314392089844 × 65536)
    floor (8933.5)     		ty = 8933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57027 / 8933 ti = "16/57027/8933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57027/8933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57027 ÷ 216
    57027 ÷ 65536     		x = 0.870162963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8933 ÷ 216
    8933 ÷ 65536     		y = 0.136306762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870162963867188 × 2 - 1) × π
    0.740325927734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32580250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136306762695312 × 2 - 1) × π
    0.727386474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28515200488808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32580250} λ = 2.32580250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28515200488808))-π/2
    2×atan(9.8271798898715)-π/2
    2×1.46938679786692-π/2
    2.93877359573385-1.57079632675     		φ = 1.36797727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32580250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.258667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36797727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.379324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57027 KachelY 8933 2.32580250 1.36797727 133.258667 78.379324
    Oben rechts KachelX + 1 57028 KachelY 8933 2.32589837 1.36797727 133.264160 78.379324
    Unten links KachelX 57027 KachelY + 1 8934 2.32580250 1.36795796 133.258667 78.378218
    Unten rechts KachelX + 1 57028 KachelY + 1 8934 2.32589837 1.36795796 133.264160 78.378218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36797727-1.36795796) × R
    1.93099999998836e-05 × 6371000     		dl = 123.024009999258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36797727-1.36795796) × R
    1.93099999998836e-05 × 6371000     		dr = 123.024009999258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32580250-2.32589837) × cos(1.36797727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201431401061197 × 6371000     		do = 123.031836262141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32580250-2.32589837) × cos(1.36795796) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201450315219313 × 6371000     		du = 123.043388798599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36797727)-sin(1.36795796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201431401061197-0.201450315219313)×R²
    abs(2.32589837-2.32580250)×1.89141581160845e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.89141581160845e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.89141581160845e-05×40589641000000     		ar = 15136.580474892m²