Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57027 / 43948
↖ ↑ ↗
← N 50.882243°
W 23.370667°		 ← 192.70 m → N 50.882243°
W 23.367920°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
N 50.880510°
W 23.370667°		 ← 192.71 m →
37 126 m²		 N 50.880510°
W 23.367920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435085296630859 y=0.335300445556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435085296630859 × 217)
    floor (0.435085296630859 × 131072)
    floor (57027.5)     		tx = 57027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335300445556641 × 217)
    floor (0.335300445556641 × 131072)
    floor (43948.5)     		ty = 43948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57027 / 43948 ti = "17/57027/43948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57027/43948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57027 ÷ 217
    57027 ÷ 131072     		x = 0.435081481933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43948 ÷ 217
    43948 ÷ 131072     		y = 0.335296630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435081481933594 × 2 - 1) × π
    -0.129837036132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.40789508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335296630859375 × 2 - 1) × π
    0.32940673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03486178899777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40789508} λ = -0.40789508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03486178899777))-π/2
    2×atan(2.8147171838561)-π/2
    2×1.22942949993291-π/2
    2.45885899986583-1.57079632675     		φ = 0.88806267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40789508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.370667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88806267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.882243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57027 KachelY 43948 -0.40789508 0.88806267 -23.370667 50.882243
    Oben rechts KachelX + 1 57028 KachelY 43948 -0.40784714 0.88806267 -23.367920 50.882243
    Unten links KachelX 57027 KachelY + 1 43949 -0.40789508 0.88803243 -23.370667 50.880510
    Unten rechts KachelX + 1 57028 KachelY + 1 43949 -0.40784714 0.88803243 -23.367920 50.880510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88806267-0.88803243) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dl = 192.659040000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88806267-0.88803243) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dr = 192.659040000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40789508--0.40784714) × cos(0.88806267) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630916288871418 × 6371000     		do = 192.698074406703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40789508--0.40784714) × cos(0.88803243) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630939750314497 × 6371000     		du = 192.705240135317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88806267)-sin(0.88803243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630916288871418-0.630939750314497)×R²
    abs(-0.40784714--0.40789508)×2.34614430786317e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34614430786317e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34614430786317e-05×40589641000000     		ar = 37125.7162992066m²