Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57027 / 42360
↖ ↑ ↗
← N 53.553363°
W 23.370667°		 ← 181.45 m → N 53.553363°
W 23.367920°		 →
↑
181.45 m
↓
↑
181.45 m
↓
N 53.551731°
W 23.370667°		 ← 181.45 m →
32 923 m²		 N 53.551731°
W 23.367920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435085296630859 y=0.323184967041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435085296630859 × 217)
    floor (0.435085296630859 × 131072)
    floor (57027.5)     		tx = 57027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323184967041016 × 217)
    floor (0.323184967041016 × 131072)
    floor (42360.5)     		ty = 42360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57027 / 42360 ti = "17/57027/42360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57027/42360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57027 ÷ 217
    57027 ÷ 131072     		x = 0.435081481933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42360 ÷ 217
    42360 ÷ 131072     		y = 0.32318115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435081481933594 × 2 - 1) × π
    -0.129837036132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.40789508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32318115234375 × 2 - 1) × π
    0.3536376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11098558559442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40789508} λ = -0.40789508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11098558559442))-π/2
    2×atan(3.03735048859779)-π/2
    2×1.25273941644925-π/2
    2.5054788328985-1.57079632675     		φ = 0.93468251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40789508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.370667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93468251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.553363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57027 KachelY 42360 -0.40789508 0.93468251 -23.370667 53.553363
    Oben rechts KachelX + 1 57028 KachelY 42360 -0.40784714 0.93468251 -23.367920 53.553363
    Unten links KachelX 57027 KachelY + 1 42361 -0.40789508 0.93465403 -23.370667 53.551731
    Unten rechts KachelX + 1 57028 KachelY + 1 42361 -0.40784714 0.93465403 -23.367920 53.551731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93468251-0.93465403) × R
    2.84799999999974e-05 × 6371000     		dl = 181.446079999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93468251-0.93465403) × R
    2.84799999999974e-05 × 6371000     		dr = 181.446079999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40789508--0.40784714) × cos(0.93468251) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594073848602663 × 6371000     		do = 181.445444824208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40789508--0.40784714) × cos(0.93465403) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594096757972946 × 6371000     		du = 181.452441935579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93468251)-sin(0.93465403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594073848602663-0.594096757972946)×R²
    abs(-0.40784714--0.40789508)×2.29093702822647e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29093702822647e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29093702822647e-05×40589641000000     		ar = 32923.1994987493m²