Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57026 / 29774
↖ ↑ ↗
← N 69.582480°
W 23.373413°		 ← 106.55 m → N 69.582480°
W 23.370667°		 →
↑
106.59 m
↓
↑
106.59 m
↓
N 69.581522°
W 23.373413°		 ← 106.56 m →
11 357 m²		 N 69.581522°
W 23.370667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435077667236328 y=0.227161407470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435077667236328 × 217)
    floor (0.435077667236328 × 131072)
    floor (57026.5)     		tx = 57026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227161407470703 × 217)
    floor (0.227161407470703 × 131072)
    floor (29774.5)     		ty = 29774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57026 / 29774 ti = "17/57026/29774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57026/29774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57026 ÷ 217
    57026 ÷ 131072     		x = 0.435073852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29774 ÷ 217
    29774 ÷ 131072     		y = 0.227157592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435073852539062 × 2 - 1) × π
    -0.129852294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40794302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227157592773438 × 2 - 1) × π
    0.545684814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71431940421245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40794302} λ = -0.40794302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71431940421245))-π/2
    2×atan(5.55289494907857)-π/2
    2×1.39261985150799-π/2
    2.78523970301598-1.57079632675     		φ = 1.21444338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40794302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.373413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21444338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.582480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57026 KachelY 29774 -0.40794302 1.21444338 -23.373413 69.582480
    Oben rechts KachelX + 1 57027 KachelY 29774 -0.40789508 1.21444338 -23.370667 69.582480
    Unten links KachelX 57026 KachelY + 1 29775 -0.40794302 1.21442665 -23.373413 69.581522
    Unten rechts KachelX + 1 57027 KachelY + 1 29775 -0.40789508 1.21442665 -23.370667 69.581522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21444338-1.21442665) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dl = 106.58683000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21444338-1.21442665) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dr = 106.58683000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40794302--0.40789508) × cos(1.21444338) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348858632534606 × 6371000     		do = 106.5504059972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40794302--0.40789508) × cos(1.21442665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348874311429549 × 6371000     		du = 106.55519473529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21444338)-sin(1.21442665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348858632534606-0.348874311429549)×R²
    abs(-0.40789508--0.40794302)×1.5678894942639e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5678894942639e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5678894942639e-05×40589641000000     		ar = 11357.1252190154m²