Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57022 / 85383
↖ ↑ ↗
← S 47.767022°
W 23.384399°		 ← 205.25 m → S 47.767022°
W 23.381653°		 →
↑
205.27 m
↓
↑
205.27 m
↓
S 47.768868°
W 23.384399°		 ← 205.24 m →
42 131 m²		 S 47.768868°
W 23.381653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435047149658203 y=0.651424407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435047149658203 × 217)
    floor (0.435047149658203 × 131072)
    floor (57022.5)     		tx = 57022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651424407958984 × 217)
    floor (0.651424407958984 × 131072)
    floor (85383.5)     		ty = 85383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57022 / 85383 ti = "17/57022/85383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57022/85383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57022 ÷ 217
    57022 ÷ 131072     		x = 0.435043334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85383 ÷ 217
    85383 ÷ 131072     		y = 0.651420593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435043334960938 × 2 - 1) × π
    -0.129913330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40813476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651420593261719 × 2 - 1) × π
    -0.302841186523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.951403646759254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40813476} λ = -0.40813476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951403646759254))-π/2
    2×atan(0.386198556475332)-π/2
    2×0.368552256636057-π/2
    0.737104513272114-1.57079632675     		φ = -0.83369181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40813476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.384399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83369181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.767022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57022 KachelY 85383 -0.40813476 -0.83369181 -23.384399 -47.767022
    Oben rechts KachelX + 1 57023 KachelY 85383 -0.40808683 -0.83369181 -23.381653 -47.767022
    Unten links KachelX 57022 KachelY + 1 85384 -0.40813476 -0.83372403 -23.384399 -47.768868
    Unten rechts KachelX + 1 57023 KachelY + 1 85384 -0.40808683 -0.83372403 -23.381653 -47.768868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83369181--0.83372403) × R
    3.22199999999162e-05 × 6371000     		dl = 205.273619999466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83369181--0.83372403) × R
    3.22199999999162e-05 × 6371000     		dr = 205.273619999466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40813476--0.40808683) × cos(-0.83369181) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.67214686475332 × 6371000     		do = 205.248131079097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40813476--0.40808683) × cos(-0.83372403) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.672123008141318 × 6371000     		du = 205.240846175627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83369181)-sin(-0.83372403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67214686475332-0.672123008141318)×R²
    abs(-0.40808683--0.40813476)×2.38566120015493e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38566120015493e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38566120015493e-05×40589641000000     		ar = 42131.2791691251m²