Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57021 / 8901
↖ ↑ ↗
← N 78.414679°
E133.225708°		 ← 122.68 m → N 78.414679°
E133.231201°		 →
↑
122.71 m
↓
↑
122.71 m
↓
N 78.413575°
E133.225708°		 ← 122.69 m →
15 054 m²		 N 78.413575°
E133.231201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870079040527344 y=0.135826110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870079040527344 × 216)
    floor (0.870079040527344 × 65536)
    floor (57021.5)     		tx = 57021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135826110839844 × 216)
    floor (0.135826110839844 × 65536)
    floor (8901.5)     		ty = 8901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57021 / 8901 ti = "16/57021/8901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57021/8901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57021 ÷ 216
    57021 ÷ 65536     		x = 0.870071411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8901 ÷ 216
    8901 ÷ 65536     		y = 0.135818481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870071411132812 × 2 - 1) × π
    0.740142822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32522725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135818481445312 × 2 - 1) × π
    0.728363037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28821996646376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32522725} λ = 2.32522725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28821996646376))-π/2
    2×atan(9.85737559611975)-π/2
    2×1.46969532594079-π/2
    2.93939065188158-1.57079632675     		φ = 1.36859433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32522725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.225708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36859433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.414679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57021 KachelY 8901 2.32522725 1.36859433 133.225708 78.414679
    Oben rechts KachelX + 1 57022 KachelY 8901 2.32532313 1.36859433 133.231201 78.414679
    Unten links KachelX 57021 KachelY + 1 8902 2.32522725 1.36857507 133.225708 78.413575
    Unten rechts KachelX + 1 57022 KachelY + 1 8902 2.32532313 1.36857507 133.231201 78.413575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36859433-1.36857507) × R
    1.92600000001875e-05 × 6371000     		dl = 122.705460001194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36859433-1.36857507) × R
    1.92600000001875e-05 × 6371000     		dr = 122.705460001194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32522725-2.32532313) × cos(1.36859433) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.200826950861495 × 6371000     		do = 122.675440157551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32522725-2.32532313) × cos(1.36857507) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.200845818435122 × 6371000     		du = 122.686965442825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36859433)-sin(1.36857507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200826950861495-0.200845818435122)×R²
    abs(2.32532313-2.32522725)×1.88675736264854e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.88675736264854e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.88675736264854e-05×40589641000000     		ar = 15053.6534236733m²