Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57021 / 42366
↖ ↑ ↗
← N 53.543572°
W 23.387146°		 ← 181.49 m → N 53.543572°
W 23.384399°		 →
↑
181.51 m
↓
↑
181.51 m
↓
N 53.541939°
W 23.387146°		 ← 181.49 m →
32 942 m²		 N 53.541939°
W 23.384399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435039520263672 y=0.323230743408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435039520263672 × 217)
    floor (0.435039520263672 × 131072)
    floor (57021.5)     		tx = 57021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323230743408203 × 217)
    floor (0.323230743408203 × 131072)
    floor (42366.5)     		ty = 42366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57021 / 42366 ti = "17/57021/42366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57021/42366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57021 ÷ 217
    57021 ÷ 131072     		x = 0.435035705566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42366 ÷ 217
    42366 ÷ 131072     		y = 0.323226928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435035705566406 × 2 - 1) × π
    -0.129928588867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.40818270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323226928710938 × 2 - 1) × π
    0.353546142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1106979641967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40818270} λ = -0.40818270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1106979641967))-π/2
    2×atan(3.03647700722688)-π/2
    2×1.25265397238984-π/2
    2.50530794477968-1.57079632675     		φ = 0.93451162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40818270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.387146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93451162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.543572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57021 KachelY 42366 -0.40818270 0.93451162 -23.387146 53.543572
    Oben rechts KachelX + 1 57022 KachelY 42366 -0.40813476 0.93451162 -23.384399 53.543572
    Unten links KachelX 57021 KachelY + 1 42367 -0.40818270 0.93448313 -23.387146 53.541939
    Unten rechts KachelX + 1 57022 KachelY + 1 42367 -0.40813476 0.93448313 -23.384399 53.541939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93451162-0.93448313) × R
    2.84899999999366e-05 × 6371000     		dl = 181.509789999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93451162-0.93448313) × R
    2.84899999999366e-05 × 6371000     		dr = 181.509789999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40818270--0.40813476) × cos(0.93451162) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594211305638905 × 6371000     		do = 181.48742774122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40818270--0.40813476) × cos(0.93448313) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594234220160391 × 6371000     		du = 181.494426425902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93451162)-sin(0.93448313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594211305638905-0.594234220160391)×R²
    abs(-0.40813476--0.40818270)×2.29145214865056e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29145214865056e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29145214865056e-05×40589641000000     		ar = 32942.3800641725m²