Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57020 / 8876
↖ ↑ ↗
← N 78.442226°
E133.220215°		 ← 122.37 m → N 78.442226°
E133.225708°		 →
↑
122.39 m
↓
↑
122.39 m
↓
N 78.441125°
E133.220215°		 ← 122.39 m →
14 978 m²		 N 78.441125°
E133.225708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870063781738281 y=0.135444641113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870063781738281 × 216)
    floor (0.870063781738281 × 65536)
    floor (57020.5)     		tx = 57020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135444641113281 × 216)
    floor (0.135444641113281 × 65536)
    floor (8876.5)     		ty = 8876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57020 / 8876 ti = "16/57020/8876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57020/8876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57020 ÷ 216
    57020 ÷ 65536     		x = 0.87005615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8876 ÷ 216
    8876 ÷ 65536     		y = 0.13543701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87005615234375 × 2 - 1) × π
    0.7401123046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.32513138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13543701171875 × 2 - 1) × π
    0.7291259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29061681144476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32513138} λ = 2.32513138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29061681144476))-π/2
    2×atan(9.88103053462896)-π/2
    2×1.46993571913822-π/2
    2.93987143827645-1.57079632675     		φ = 1.36907511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32513138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.220215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36907511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.442226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57020 KachelY 8876 2.32513138 1.36907511 133.220215 78.442226
    Oben rechts KachelX + 1 57021 KachelY 8876 2.32522725 1.36907511 133.225708 78.442226
    Unten links KachelX 57020 KachelY + 1 8877 2.32513138 1.36905590 133.220215 78.441125
    Unten rechts KachelX + 1 57021 KachelY + 1 8877 2.32522725 1.36905590 133.225708 78.441125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36907511-1.36905590) × R
    1.92100000000472e-05 × 6371000     		dl = 122.386910000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36907511-1.36905590) × R
    1.92100000000472e-05 × 6371000     		dr = 122.386910000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32513138-2.32522725) × cos(1.36907511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200355942728483 × 6371000     		do = 122.374959465375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32513138-2.32522725) × cos(1.36905590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200374763173672 × 6371000     		du = 122.386454763122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36907511)-sin(1.36905590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200355942728483-0.200374763173672)×R²
    abs(2.32522725-2.32513138)×1.8820445189055e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.8820445189055e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.8820445189055e-05×40589641000000     		ar = 14977.796587806m²