Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57020 / 85381
↖ ↑ ↗
← S 47.763330°
W 23.389893°		 ← 205.31 m → S 47.763330°
W 23.387146°		 →
↑
205.27 m
↓
↑
205.27 m
↓
S 47.765176°
W 23.389893°		 ← 205.30 m →
42 143 m²		 S 47.765176°
W 23.387146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435031890869141 y=0.651409149169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435031890869141 × 217)
    floor (0.435031890869141 × 131072)
    floor (57020.5)     		tx = 57020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651409149169922 × 217)
    floor (0.651409149169922 × 131072)
    floor (85381.5)     		ty = 85381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57020 / 85381 ti = "17/57020/85381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57020/85381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57020 ÷ 217
    57020 ÷ 131072     		x = 0.435028076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85381 ÷ 217
    85381 ÷ 131072     		y = 0.651405334472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435028076171875 × 2 - 1) × π
    -0.12994384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40823064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651405334472656 × 2 - 1) × π
    -0.302810668945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.951307772960014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40823064} λ = -0.40823064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951307772960014))-π/2
    2×atan(0.386235584573187)-π/2
    2×0.36858447841634-π/2
    0.73716895683268-1.57079632675     		φ = -0.83362737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40823064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.389893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83362737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.763330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57020 KachelY 85381 -0.40823064 -0.83362737 -23.389893 -47.763330
    Oben rechts KachelX + 1 57021 KachelY 85381 -0.40818270 -0.83362737 -23.387146 -47.763330
    Unten links KachelX 57020 KachelY + 1 85382 -0.40823064 -0.83365959 -23.389893 -47.765176
    Unten rechts KachelX + 1 57021 KachelY + 1 85382 -0.40818270 -0.83365959 -23.387146 -47.765176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83362737--0.83365959) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dl = 205.273620000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83362737--0.83365959) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dr = 205.273620000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40823064--0.40818270) × cos(-0.83362737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.672194575883974 × 6371000     		do = 205.305525763214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40823064--0.40818270) × cos(-0.83365959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.672170720667547 × 6371000     		du = 205.298239766084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83362737)-sin(-0.83365959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672194575883974-0.672170720667547)×R²
    abs(-0.40818270--0.40823064)×2.38552164274486e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38552164274486e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38552164274486e-05×40589641000000     		ar = 42143.0606716163m²