Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57019 / 85311
↖ ↑ ↗
← S 47.633933°
W 23.392639°		 ← 205.77 m → S 47.633933°
W 23.389893°		 →
↑
205.85 m
↓
↑
205.85 m
↓
S 47.635784°
W 23.392639°		 ← 205.77 m →
42 357 m²		 S 47.635784°
W 23.389893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435024261474609 y=0.650875091552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435024261474609 × 217)
    floor (0.435024261474609 × 131072)
    floor (57019.5)     		tx = 57019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650875091552734 × 217)
    floor (0.650875091552734 × 131072)
    floor (85311.5)     		ty = 85311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57019 / 85311 ti = "17/57019/85311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57019/85311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57019 ÷ 217
    57019 ÷ 131072     		x = 0.435020446777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85311 ÷ 217
    85311 ÷ 131072     		y = 0.650871276855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435020446777344 × 2 - 1) × π
    -0.129959106445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.40827857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650871276855469 × 2 - 1) × π
    -0.301742553710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.94795218998661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40827857} λ = -0.40827857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94795218998661))-π/2
    2×atan(0.387533807052969)-π/2
    2×0.369713681904197-π/2
    0.739427363808393-1.57079632675     		φ = -0.83136896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40827857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.392639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83136896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.633933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57019 KachelY 85311 -0.40827857 -0.83136896 -23.392639 -47.633933
    Oben rechts KachelX + 1 57020 KachelY 85311 -0.40823064 -0.83136896 -23.389893 -47.633933
    Unten links KachelX 57019 KachelY + 1 85312 -0.40827857 -0.83140127 -23.392639 -47.635784
    Unten rechts KachelX + 1 57020 KachelY + 1 85312 -0.40823064 -0.83140127 -23.389893 -47.635784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83136896--0.83140127) × R
    3.23099999999243e-05 × 6371000     		dl = 205.847009999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83136896--0.83140127) × R
    3.23099999999243e-05 × 6371000     		dr = 205.847009999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40827857--0.40823064) × cos(-0.83136896) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.673864929481139 × 6371000     		do = 205.772762812294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40827857--0.40823064) × cos(-0.83140127) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.673841056738662 × 6371000     		du = 205.765472983189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83136896)-sin(-0.83140127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673864929481139-0.673841056738662)×R²
    abs(-0.40823064--0.40827857)×2.38727424775043e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38727424775043e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38727424775043e-05×40589641000000     		ar = 42356.9576732593m²